Γ' ΓΥΜΝ. ΑΛΓΕΒΡΑ

ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ




Ν={0, 1, 2, 3,...} Φυσικοί αριθμοί (τους συναντούμε στη φύση).                  
Ζ={...-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,... } Ακέραιοι αριθμοί (ολόκληροι, όχι... κομματάκια).                 
Q={ ...-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,..., κλάσματα, δεκαδικοί}  Ρητοί αριθμοί (και...κομματάκια).
 R={Φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, άρρητοι} Πραγματικοί αριθμοί        


__________________________________________
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ
1. Πρόσθεση ρητών αριθμών  
  α) Για να προσθέσουμε ομόσημους ρητούς στο αποτέλεσμα βάζουμε το  κοινό πρόσημο 
      και προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές. π.χ. 3+7=10,  -7-4=-11
  β) Για να προσθέσουμε ετερόσημους ρητούς στο αποτέλεσμα βάζουμε το  πρόσημο της   
     μεγαλύτερης απόλυτης τιμής και αφαιρούμε τις απόλυτες  τιμές. π.χ. –3+7=4,  3-8=-5

2. Αφαίρεση ρητών αριθμών
   Για να αφαιρέσουμε δύο ρητούς, προσθέτουμε στον πρώτο τον αντίθετο  του δεύτερου. 
    π.χ. 3-(+8)=3+(-8)=-5.

3. Απαλοιφή παρενθέσεων  
    α) Αν μία παρένθεση έχει μπροστά (αριστερά) το (+) ή τίποτε φεύγει μαζί  με αυτό και  
 γράφουμε τους αριθμούς που  περιέχει όπως είναι. π.χ. 4+(-2+5-7)=4-2+5-7
β) Αν μία παρένθεση έχει μπροστά (αριστερά) το (-) φεύγει μαζί με αυτό  και γράφουμε το   
           αριθμούς που περιέχει  με αλλαγμένα πρόσημα. 
    π.χ. 4-(-2+5-7)=4+2-5+7         

4. Πολλαπλασιασμός
   α) Για να πολλαπλασιάσουμε ρητούς πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες  τιμές και βάζουμε  
       πρόσημο το (+) αν το πλήθος των αρνητικών  παραγόντων είναι άρτιο. 
        π.χ. 2(-4)(-3)5=+240
   β) Για να πολλαπλασιάσουμε ρητούς πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες  τιμές και βάζουμε  
      πρόσημο το (-) αν το πλήθος των αρνητικών  παραγόντων είναι  περιττό.
       π.χ. –3(-4)(-2)=-24
5. Επιμεριστική ιδιότητα
   α) Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με ένα άθροισμα ή διαφορά πολλαπλασιάζουμε
       τον αριθμό με κάθε όρο του αθροίσματος ή της  διαφοράς.
       π.χ. 3(-2+4-5)=-6+12-15
 β) Για να πολλαπλασιάσουμε ένα άθροισμα με  ένα άλλο  άθροισμα πολλαπλασιάζουμε κάθε  
    όρο του πρώτου αθροίσματος με κάθε όρο του δεύτερου.
     π.χ. (-3+5)(4-7-6)=-12+21+18+20-35-30

6. Διαίρεση
    Διαιρούμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε το πρόσημο όπως στον  πολλαπλασιασμό 
     π.χ. –8:(-2)=+4 ,  -12:3=-4

7. Προτεραιότητα των πράξεων
   Για να υπολογίσουμε μια αριθμητική παράσταση κάνουμε τις πράξεις με  τη σειρά:
       α) Παρενθέσεις
       β) Πολλαπλασιασμοί ή διαιρέσεις
       γ) Προσθέσεις ή αφαιρέσεις.


3. Πρόσημο δύναμης
   α) Δύναμη με βάση θετικό είναι θετικός αριθμός  π.χ. 43=64
   β) Δύναμη με βάση αρνητικό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθμός π.χ. (-2)4=+16
   γ) Δύναμη με βάση αρνητικό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός π.χ. (-2)3=-8

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ (Να τις ξέρετε και με λόγια!)
   α) Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση αφήνουμε την ίδια βάση  
       και προσθέτουμε τους εκθέτες, δηλ αμανμ+ν  π.χ. 232425=212
   β) Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση αφήνουμε την ίδια βάση και 
       αφαιρούμε τους εκθέτες, δηλ αμνμ-ν  π.χ.  56:54=52
   γ) Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του 
       γινομένου στον εκθέτη αυτόν, δηλ. (αβγ)ννβνγν  π.χ. (2·3·4)5=253545
 δ) Για να υψώσουμε ένα κλάσμα σε έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε όρο του κλάσματος 
       στον εκθέτη αυτό. δηλ. {\left( {\frac{\alpha }{\beta }} \right)^\nu } = \frac{{{\alpha ^\nu }}}{{{\beta ^\nu }}}   π.χ.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^4} = \frac{{{2^4}}}{{{3^4}}} = \frac{{16}}{{81}}
 ε) Για να υψώσουμε μια δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης  


        στο  γινόμενο των εκθετών, δηλ. ν)μνμ   π.χ.  (23)4=212=4096

Δείτε τα παραδείγματα (προσέχετε τις παρενθέσεις)
       23=2·2·2=8
   (-2)3=(-2)(-2)(-2)=-8  (Η βάση της δύναμης είναι το -2)
     -24= -2·2·2·2=-16      (Η βάση της δύναμης είναι το 2)
   (-2)4=(-2)(-2)(-2)(-2)=+16

π.χ. Να υπολογίσετε την παράσταση: 826:825+4(-8+7)34-(-9+8)45-3(-5+4)32  Μην τρομάζετε!
        Φούσκα είναι.
        =81+4(-1)34-(-1)45-3(-1)32=
        =8+4·1-(-1)-3·1=
        =8+4+1-3=10.

π.χ. Αν α=2 και β=3 να συγκρίνετε τις παραστάσεις: (α+β)2 και α2+2αβ+β2
          Έχουμε: (α+β)2=(2+3)2=52=25
                     α2+2αβ+β2=22+2·2·3+32=4+12+9=25. Άρα είναι ίσες.

π.χ. Αν x=-3 να υπολογίσετε την παράσταση 5x3-4x2+x-7.
       Έχουμε 5(-3)3+4(-3)2+(-3)-7=5·(-27)+4·9-3-7=-135+36-3-7=-109



ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ










_____________
ΜΟΝΩΝΥΜΑ
Είναι οι αλγεβρικές παραστάσεις που υπάρχει μόνο πολλαπλασιασμός μεταξύ των μεταβλητών.
π.χ. Οι παραστάσεις 2αβ,    -3α2β3γ,    (2,3-5)α4βγ2 είναι μονώνυμα,
       ενώ οι παραστάσεις 2α-2β,    2α(β+γ) δεν είναι.

_________________________
ΠΡΟΣΘΕΣΗ- ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ
Προσθέτουμε ή αφαιρούμε μόνο όμοια μονώνυμα. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους συντελεστές και κύριο μέρος αφήνουμε το ίδιο. 
(Κρατείστε την σειρά του αλφαβήτου, γιατί τα μονώνυμα -3α2β και -3βαείναι όμοια, αλλά...δεν φαίνονται)
π.χ. 2x+5x-3x=4x
       2αβ-4αβ+7αβ=5αβ
       2αβ-3α=?
       2x2+3x=?
________________________
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ
Πολλαπλασιάζουμε πρόσημο με πρόσημο, συντελεστή με συντελεστή, κύριο μέρος με 
κύριο μέρος. 
π.χ. (-3α2β3γ) (4α4β)=-12α6β4γ
.
_________________________
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
α) Πολλαπλασιάζουμε  κάθε όρο του πρώτου αθροίσματος με κάθε όρο του δεύτερου.
β) Είναι προτιμότερο να γράφουμε το αποτέλεσμα αμέσως.
π.χ. (-2α+3β)(4α-5β)=-8α2+10αβ+12αβ-15β2=-8α2+22αβ-15β2
π.χ. (2x-3)(x2+1)-(-3+x2)(x+4)=  Υπολογίζουμε τα γινόμενα και τα βάζουμε σε παρένθεση!!
       =(2x3+2x-3x2-3)-(-3x-12+x3+4x2)=
       =2x3+2x-3x2-3+3x+12-x3-4x2=
       =x3-7x2+5x+12.

_______________
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
Αν σε ρωτήσει κάποιος μεγάλος σε ηλικία σε ποια τάξη πηγαίνεις και απαντήσεις: "στην τρίτη" θα ακολουθήσει η ερώτηση: ¨τις ταυτότητες τις κάνατε;"
Αυτό σημαίνει ότι είναι από τα βασικότερα μαθήματα της Γ' Γυμνασίου.
Οι ταυτότητες είναι απλά γινόμενο πολυωνύμων. Είναι πολύ χρήσιμες γι' αυτό έχουν τυποποιηθεί.
Τις μαθαίνετε απέξω, παπαγαλία!!
    1) (α+β)22+2αβ+β2
    2) (α-β)22-2αβ+β2
    3) (α-β)(α+β)=α22  
    4) (α+β)33+3α2β+3αβ23 (οι δυνάμεις του α κατεβαίνουν και του β ανεβαίνουν)
    5) (α-β)33-3α2β+3αβ23    (τα πρόσημα μπαίνουν εναλλάξ)
    6) (α-β)·2+αβ+β2)=α33    
    7) (α+β)·2-αβ+β2)=α33    

Προσοχή στις παρακάτω:
 (-α+β)2=(β-α)2   και : (-α-β)2=(α+β)2

Οι ταυτότητες ισχύουν για οποιουσδήποτε αριθμούς α και β.
Προσοχή! Αντικαθιστούμε μόνο τους αριθμούς, χωρίς τα πρόσημα.
π.χ.  (2x-3y)2=(2x)2-2·(2x)·(3y)+(3y)2= 4x2-12xy+9y2
                όχι =(2x)2-2·(2x)·(-3y)+(-3y)2

Σημείωση: Αναζητήστε το τρίγωνο του Pascal για να μάθετε πως υπολογίζονται μεγάλες δυνάμεις. π.χ. (α+β)7

_______________________
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ
 Θα σας απασχολούν δύο ερωτήματα:
Α. Πόσους όρους έχει η παράσταση;
    Οι όροι χωρίζονται με τα + ή -. 
 π.χ. Η παράσταση 2α-3(α+β)+4αγ έχει τρεις όρους. Το 3(α+β) θεωρείται ένας όρος.
Β. Ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι; (με τη σειρά που δίνονται)

1 . Κοινός παράγοντας   (όροι οσοιδήποτε)
      i) Στηριζόμαστε στην ιδιότητα: αβ+αγ+αδ=α(β+γ+δ)
     ii) Ο κοινός παράγοντας βγαίνει με τον μικρότερο εκθέτη.
π.χ. 2x5y+4x3y3=2x3y(x2+2y2
    iii) Αλλαγή θέσης   α-β=-(β-α)
π.χ. α(x-y)-β(y-x)=α(x-y)+β(x-y)=(x-y)(α+β)
    iv) Αλλαγή πρόσημου -α +β=-(α-β)
π.χ. x(α-2)-α+2=x(α-2)-(α-2)=(α-2)(x-1)
     v) Όταν βγάζουμε αρνητικό κοινό παράγοντα, αλλάζουμε τα πρόσημα
π.χ. 2αβ-6αγ=-2α(-β+3γ)

2. Ομαδοποίηση   (όροι 4 ή 6)
    i) Βγάζουμε τρεις φορές κοινό παράγοντα.
   ii) Το α2 2  και οι πρωτοβάθμιοι όροι (π.χ. x+5) δεν αναλύονται.
π.χ. α32β+αβ-β2 =α2(α-β)+β(α-β)=(α-β)(α2+β).

3. Διαφορά τετραγώνων  (όροι 2)
    Μορφή: α22 =(α-β)(α+β)
    Πρέπει να έχουμε δύο όρους τέλεια τετράγωνα.
π.χ. α2-25=α2-52 = (α-5)(α+5)

4. Διαφορά, Άθροισμα κύβων (όροι 2)
     Μορφή: α33=(α-β)(α2+αβ+β2) ή  α33=(α+β)(α2-αβ+β2)
     Πρέπει να έχουμε δύο όρους τέλειους κύβους.
π.χ. 8x3-27=(2x)3-33=(2x-3)(4x2+2x3+32)=(2x-3)(4x2+6x+32).

5. Ανάπτυγμα τετραγώνου.   (όροι 3)
    Μορφή: α2-2αβ+β2=(α-β)2   ή    α2+2αβ+β2=(α+β)2
    Οι δυο όροι να είναι τέλεια τετράγωνα και ο τρίτος να είναι το διπλάσιο γινόμενό τους.
π.χ. x2+6x+9=x2+2x3+32=(x+3)2

6. Τριώνυμο της μορφής  x2x(όροι 3)
    Ψάχνουμε να βρούμε δύο αριθμούς κ και λ με άθροισμα Α και γινόμενο Γ.
    Τότε x2x+Γ= (x+κ)(x+λ)
π.χ. Να γίνει γινόμενο x2+x-6
       Γινόμενο -6 έχουν τα ζευγάρια: (1,-6), (-1,6), (2,-3), (3,-2). 
      Από αυτά άθροισμα 1 δίνει το τελευταίο.
      Άρα  x2+x-6=(x+3)(x-2)

7. Τριώνυμο της μορφής  αx2x+γ (όροι 3)
   (Δείτε παρακάτω στις εξισώσεις δευτέρου βαθμού)
_________
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Η παραγοντοποίηση χρησιμεύει:
α) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού ενός κλάσματος.
     Δηλαδή ποιες τιμές επιτρέπεται να πάρει η μεταβλητή σε ένα κλάσμα.
π.χ. Να βρείτε πότε ορίζεται το κλάσμα \frac{{ - 3x + 5}}{{{x^2} - 9}}.
      Πρέπει ο παρονομαστής να είναι διαφορετικός από το 0. Δηλαδή
      x2-90 ή
      (x-3)(x+3)0 
      άρα x-30 και x+30 και τελικά x3 και x-3.
     

β) Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα.
 Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα πρέπει οι όροι του να είναι γινόμενα.
π.χ. Να απλοποιηθεί το κλάσμα:




γ) Για να λύσουμε εξισώσεις με βαθμό μεγαλύτερο του πρώτου.
π.χ. Να λύσετε την εξίσωση:
       x3+4x2=x+4        Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α' μέλος
       x3+4x2-x-4=0      Κάνουμε παραγοντοποίηση
       x2(x+4)-(x+4)=0
       (x+4)(x2-1)=0
       (x+4)(x-1)(x+1)=0
      Άρα x=-4 ή x=1 ή x=-1 (ή!!)

δ) Για να βρούμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη.
π.χ. Ποιο είναι το ΕΚΠ και ο ΜΚΔ των παραστάσεων:
      Α=12x3y-12xy3
      B=16x4-16y4
      Γ=20x3(x-y)2(x+y)   
     Μετατρέπουμε τις παραστάσεις σε γινόμενο (και τους συντελεστές).
     Α=22·3xy(x-y)(x+y)
     B=24(x2+y2)(x-y)(x+y)
     Γ=22·5x3(x-y)2
Το EKΠ αποτελείται από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη.
ΕΚΠ: 24·3·5x3y(x-y)2(x2+y2)(x+y)
O MKΔ αποτελείται από τους κοινούς παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη.
ΜΚΔ: 2(x-y)

__________________________
ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
Γίνεται όπως η διαίρεση με αριθμούς.
α) Πρέπει τα πολυώνυμα να είναι διατεταγμένα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής.
β) Ο βαθμός του διαιρετέου να είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον βαθμό του διαιρέτη.
γ) Σαν επαλήθευση χρησιμοποιούμε την ισότητα της διαίρεσης: Δ=δπ+υ.
δ) Η διαίρεση χρησιμοποιείται ως μία μορφή παραγοντοποίησης.































___________________________________
ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ














_________________________________________
Απλοποίηση κλάσματος σημαίνει να βρούμε ένα ίσο κλάσμα με μικρότερους όρους.
Διαιρούμε και τους δύο όρους με τον Μέγιστο Κοινό διαιρέτη τους (ΜΚΔ)
Προσοχή στις απλοποιήσεις!! 
\frac{{\alpha  + \beta }}{\beta } = \alpha   Σωστό ή Λάθος;  (Λάθος. Οι όροι να είναι γινόμενο) Τσεκάρετε πάνω στην παρένθεση
\frac{{\alpha  + 3}}{{\beta  + 3}} = \frac{\alpha }{\beta }  Σωστό ή Λάθος;  (Λάθος. Οι όροι να είναι γινόμενο











________________________

















_____________
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α) Εξισώσεις α' βαθμού.
Για να λύσουμε μία εξίσωση εργαζόμαστε με τη σειρά:
1) Απαλείφουμε τους παρονομαστές. Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ.
    (Δεν κάνουμε πολλαπλασιασμούς αλλά απλοποιήσεις!)
π.χ. Να λύσετε την εξίσωση \frac{{x + 4}}{3} - \frac{{x - 4}}{5} = 2 + \frac{{3x - 1}}{{15}}
      Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ=15 (Ξέρετε πως το βρίσκουμε;)

      15\frac{{x + 4}}{3} - 15\frac{{x - 4}}{5} = 15 \cdot 2 + 15\frac{{3x - 1}}{{15}}  Κάνουμε τις απλοποιήσεις και όχι τους πολλαπλασιασμούς)

     5(x + 4) - 3(x - 4) = 30 + (3x - 1)  Απαλείφουμε τις παρενθέσεις

      5x+20-3x+12=30+3x-1  Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους

      5x-3x-3x=30-1-20-12     Κάνουμε τις αναγωγές όμοιων όρων

      -1x=-3                            Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου

      \frac{{ - 1x}}{{ - 1}} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}}  Άρα x=3

________________________________________________________________
Αν η εξίσωση πάρει την μορφή 0x=α, λέμε ότι είναι αδύνατη. Δεν έχει λύσεις.
π.χ. 0x=4  (ποιος πολλαπλασιάζεται με το 0 και δίνει 4;)
         x=(αδύνατη). Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στην παρένθεση.

_____________________________________________________________________
Αν η εξίσωση πάρει την μορφή 0x=0, λέμε ότι είναι ταυτότητα. Έχει  άπειρες λύσεις.
π.χ. 2(x+1)=2x+2 
       0x=0, (ποιος πολλαπλασιάζεται με το 0 και δίνει 0;)
       x=(οποιοσδήποτε αριθμός).Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στην παρένθεση.

_____________________________________________________________________
Β) Εξισώσεις που...το παίζουν δευτέρου βαθμού
    π.χ. Να λυθεί η εξίσωση (x+1)2+(x-2)2=2(x-3)2    Αναπτύσσουμε τις ταυτότητες
           x2+2x+1+ x2-4x+4=2(x2-6x+9)   Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α' μέλος
           x2+2x+1+ x2-4x+4-2 x2+12x-18=0 (οι όροι xαπλοποιούνται).
          10x=13 άρα x=1,3.


______________________________________________________________________ 
Γ) Εξισώσεις β' βαθμού
Είναι όσες εξισώσεις έχουν τη μορφή αx2+βx+γ=0
  i) Αν β=0 δηλαδή αx2+γ=0 λύνονται όπως οι πρωτοβάθμιες ή με παραγοντοποίηση.
   π.χ.1  2x2-18=0
             2x2=18
             x2=9 άρα x=3 ή x=-3.

  ή 2x2-18=0
             2(x2-9)=0
             2(x-3)(x+3)=0 άρα x=3 ή x=-3.

   π.χ.2  2x2+18=0 
             2x2= -18 
             x2= -9  
             x=(αδύνατη) Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στην παρένθεση.

  ii) Αν γ=0 δηλαδή αx2+βx=0 λύνονται με παραγοντοποίηση.
      π.χ. 2x2-6x=0
            2x(x-3)=0
            x=0 ή x=3 ( η μία ρίζα θα είναι πάντα το 0)

  iii) Μορφή αx2+βx+γ=0
   Λύνεται με συμπλήρωση τετραγώνου (ωχ!!) και με τον τύπο:
 x = \frac{{ - \beta  \pm \sqrt {{\beta ^2} - 4\alpha \gamma } }}{{2\alpha }}


___________________________________________________________
π.χ. Να λύσετε την εξίσωση  x2-4x+3=0 με συμπλήρωση τετραγώνου.
       Προσπαθούμε με τους δύο πρώτους όρους να φτιάξουμε ταυτότητα.
       x2-4x+4-4+3=0  (Προσθέτουμε και αφαιρούμε το 4)
       (x-2)2-1=0
       (x-2-1)(x-2+1)=0 ή (x-3)(x-1)=0 άρα x=3 ή x=1

____________________________________________________________
π.χ. Να λύσετε την εξίσωση  x2-5x+6=0 με συμπλήρωση τετραγώνου.
       Προσπαθούμε με τους δύο πρώτους όρους να φτιάξουμε ταυτότητα.
       \begin{array}{l}
{x^2} - 2x\frac{5}{2} + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + 6 = 0\\
{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4} + 6 = 0
\end{array}
       \begin{array}{l}
{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4} + \frac{{24}}{6} = 0\\
{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} = 0
\end{array}
       {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 0
      \left( {x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}} \right)\left( {x + \frac{5}{2} + \frac{1}{2}} \right) = 0 άρα x=3 ή x=2



_____________________________________________________________
π.χ. Να λύσετε την εξίσωση  2x2-10x+12=0
      α=2
      β=-10
      γ=12 άρα Δ=(-10)2-4·2·12=100-96=4

Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι κλάσματα ή άρρητες ΜΗΝ τις υπολογίζετε κατά προσέγγιση.
Είναι λάθος, γιατί αυτό που θα βρείτε, δεν επαληθεύει την εξίσωση.

______________________________________________________________________ 
Δ) Εξισώσεις ανωτέρου βαθμού
    Για να λύσουμε εξίσωση ανωτέρου βαθμού, μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος και      κάνουμε παραγοντοποίηση. Στηριζόμαστε στην ιδιότητα: Αν α·β=0 τότε α=0 ή β=0.
π.χ. Να λυθεί η...πονηρή  εξίσωση (x+3)(x2-1)=(x+1)(x2-9).
       Αν κάνετε τους πολλαπλασιασμούς...χάσατε, γιατί είναι πιθανόν να προκύψει εξίσωση 3ου   
       βαθμού και οι γνώσεις σας δεν φτάνουν.
        (x+3)(x2-1)-(x+1)(x2-9)=0
         (x+3)(x-1)(x+1)-(x+1)(x-3)(x+3)=0 ΔΕΝ απλοποιούμε ποτέ με άγνωστο!!   
         (x+3)(x+1)[(x-1)-(x+3)]=0
         (x+3)(x+1)[-4]=0  οπότε x=-3 ή x=-1.

π.χ. Να λύσετε την εξίσωση:  (x+3)2(x2-5x)(x+7)(x2-9)(x2-x-6)=0.
     Για να ισούται το γινόμενο αυτό με το 0 πρέπει ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες να είναι ίσος με το 0. Άρα
       (x+3)2=0 άρα x=-3
       x2-5x=0 ή x(x-5)=0 άρα x=0 ή x=5
       x+7=0 άρα x=-7
       x2-9=0 ή (x-3)(x+3)=0 άρα x=3 ή x=-3
       x2-x-6=0 άρα x=3 ή x=-2.

__________________________________
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
Απαραίτητη και...πέρα από τις Πανελλήνιες εξετάσεις.
Γίνεται σύμφωνα με τον τύπο: αx2+βx+γ=α(x-ρ1)(x-ρ2)  όπου  ρ1, ρ2 οι ρίζες του τριωνύμου.
(πολλοί ξεχνούν το α!!)
π.χ. Να γίνει γινόμενο το τριώνυμο 2x2-10x+12
       Βρίσκουμε τις ρίζες της αντίστοιχης εξίσωσης. Είναι 2 και 3.
      Άρα 2x2-10x+12=2(x-2)(x-3).


______________________________
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Δείτε μερικές απλές υποδείξεις στη σελίδα Β" ΓΥΜΝ. ΑΛΓΕΒΡΑ

π.χ. Να βρείτε δύο διαδοχικούς ρητούς αριθμούς με άθροισμα τετραγώνων 61.
       Έστω x ο ένας και x+1 ο επόμενος. 
       Πρέπει x2+(x+1)2=61
       x2+x2+2x+1=61
      2x2+2x-60=0  κ.λ.π. θα βρούμε x=5  ή x=-6
      Αν x=5 οι αριθμοί είναι 5 και 6. Αν x=-6 οι αριθμοί είναι -6 και -5.










_______________
AΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
Δείτε βασικές έννοιες στη σελίδα Β' ΓΥΜΝ. ΑΛΓΕΒΡΑ.
 http://colpomathgym.blogspot.gr/p/blog-page.html
Για να δείξουμε μία ανισότητα την μετασχηματίζουμε και καταλήγουμε σε ανισότητα 
που ισχύει.
Α) Για να δείξουμε ότι α>β, αρκεί να δείξουμε ότι α-β>0
π.χ.
Αν α>β να δείξετε ότι 5α+4>5β+4
           Έχουμε: (5α+4)-(5β+4)=
                         =5α+4-5β-4=
                         =5α-5β=
                         =5(α-β)>0 που ισχύει επειδή α>β.

Β) Για να δείξουμε ότι μια παράσταση είναι θετική αρκεί να δείξουμε ότι είναι:
      i) άθροισμα θετικών ή
     ii) Γινόμενο ομόσημων ή
    iii) Τέλειο τετράγωνο
π.χ. Να δείξετε ότι: α2-6α+11>0
        Η παράσταση γράφεται: α2-6α+9+2=(α-3)2+2>0. (Άθροισμα θετικών)
  
π.χ. Αν x<2<y , να δείξετε ότι  xy-2(x+y)+4<0
       Η παράσταση γράφεται: (x-2)(y-2)<0 (Γινόμενο ετεροσήμων)

π.χ. Να δείξετε ότι:  (α+β)2≥4αβ
      Η παράσταση γράφεται: (α+β)2-4αβ≥0         <=>     
                                             α2+2αβ+β2-4αβ≥0 <=>       
                                             (α-β)2≥0   (Τέλειο τετράγωνο)                          
                                                                                        
Το σύμβολο  \Leftrightarrow  είναι απαραίτητο γιατί η αλήθεια της πρώτης σχέσης στηρίζεται στην
αλήθεια της τελευταίας.

_____________
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
Λύνονται όπως οι εξισώσεις.
Προσοχή!
α
) Όταν διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου και είναι αρνητικός αριθμός αλλάζει η 
    φορά της ανίσωσης.
β) Μία ανίσωση επαληθεύεται με πολλούς αριθμούς. Αφού δεν μπορούμε να τους γράψουμε 
   όλους τους...δείχνουμε. Γι' αυτό είναι απαραίτητος ο άξονας.
π.χ.  Να λύσετε την ανίσωση:
         2(x-3)+4<5(x+2)
         2x-6+4<5x+10
         2x-5x<10+6-4
        -3x<12
         x>-4





π.χ. Να λύσετε την ανίσωση:
         3(x-2)<3x-7
         3x-6<3x-7
         3x-3x<6-7
         0x<-1 άρα 0<-1. Επειδή καταλήξαμε σε ψευδή ανισότητα, η παραπάνω ανίσωση
         είναι αδύνατη.

π.χ. Να λύσετε την ανίσωση:
         x<x+2
         x-x<2
         0x<2 άρα 0<2. Επειδή καταλήξαμε σε αληθή ανισότητα, η παραπάνω ανίσωση
         επαληθεύεται με όλους τους αριθμούς.

π.χ. Πότε έχει νόημα η παράσταση Α=\sqrt {x - 3}  + \sqrt {7 - x}  ;
       Πρέπει το υπόριζο να μην είναι αρνητικό. Άρα x-3³0 και 7-x³0. Δηλαδή x³3 και x£7.

__________________________________
Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ αx+βy=γ
Κάθε εξίσωση της μορφής αx+βy=γ έχει άπειρες λύσεις, που είναι οι συντεταγμένες των σημείων της γραφικής της παράστασης. Η γραφική παράσταση είναι ευθεία, γι' αυτό λέγεται γραμμική.
      Ανάλογα με τις τιμές των α, β, γ η εξίσωση αx+βy=γ παίρνει τις παρακάτω μορφές:
1) Αν α,β,γ0, τότε η εξίσωση παίρνει τη γνωστή μας μορφή y=αx+β.
2) Αν α=β=0 τότε 0x+0y=γ
    π.χ. 0=5 αδύνατη.
3) Αν α=0 τότε 0x+βy=γ ή βy=γ.
    π.χ. y=2 που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα x'x.
4) Αν β=0 τότε αx+0y=γ ή αx=γ.
    π.χ. x=3 που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα y'y.
5) Αν γ=0 τότε αx+βy=0 ή y=α/βx
    π.χ. y=2x, που παριστάνει ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
       

 Και οι άξονες έχουν εξίσωση!
 Ο οριζόντιος άξονας x'x έχει εξίσωση y=0, ενώ
 ο κατακόρυφος άξονας y'y έχει εξίσωση x=0.









π.χ. Κάθε πορτοκαλάδα κοστίζει 2€ και κάθε λεμονάδα 3€. Αν διαθέτουμε 24€ πόσες πορτοκαλάδες και πόσες λεμονάδες μπορούμε να αγοράσουμε;
       Αν ονομάσουμε x τις πορτοκαλάδες και y τις λεμονάδες τότε πρέπει 2x+3y=24.
       Προσοχή!! Οι αριθμοί x, y πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί.
       Η παραπάνω εξίσωση έχει πολλές λύσεις. Δίνουμε τιμές στο x και βρίσκουμε τις αντίστοιχες
       τιμές του y. Οι λύσεις φαίνονται στον πίνακα:
x
0
3
6
12
y
8
6
4
0

π.χ. Να λύσετε την εξίσωση x+y=5, όταν x,y ЄN
         Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι οι συντεταγμένες μόνο των σημείων (0,5), (1,4), (2,3),                  (3,2), (4,1), (5,0).







π.χ. Να λύσετε την εξίσωση x+y=5, όταν x, y ЄR. Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι οι 
         συντεταγμένες ΟΛΩΝ των σημείων της ευθείας.








________________________________________
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
(Λέγονται έτσι γιατί οι εξισώσεις έχουν γραφική παράσταση μία ευθεία)
Αν έχουμε δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους, (πακέτο) λέμε ότι έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων.
Πρόβλημά μας είναι να υπολογίσουμε τους αγνώστους ώστε να επαληθεύονται και οι δύο εξισώσεις
π.χ. Να λύσετε το σύστημα x+y=5
                                             x-y=1.
   Δηλαδή ζητάμε δύο αριθμούς με άθροισμα 5 και διαφορά 1
   Προφανώς είναι το 3 και το 2. Πώς τα βρίσκουμε όμως;

Υπάρχουν πολλές μέθοδοι. Εδώ θα μάθουμε τρεις.
α) Γραφική λύση.
    Κατασκευάζουμε την γραφική παράσταση των δύο εξισώσεων. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής είναι η λύση του συστήματος. Επειδή χρειάζεται πολύ καλό σχήμα δεν την προτιμάμε ή καταφεύγουμε σε...ηλεκτρονική λύση μέσω υπολογιστή.

β) Μέθοδος αντικατάστασης.
    Λύνουμε την μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο (προτιμάμε αυτόν που έχει συντελεστή το 1) και αντικαθιστούμε στην άλλη.
π.χ. Να λύσετε το σύστημα:
       x+2y=4 (i)
      3x-4y=2 (ii)
      Λύνουμε την (i) ως προς x (γλιτώνουμε τα κλάσματα)
      x=4-2y (iii)  (αντικαθιστούμε την (iii) στην (ii) και έχουμε:
     3(4-2y)-4y=2
     12-6y-4y=2
      -10y=-10
      άρα y=1 και από την (iii) βρίσκουμε x=2.

______________________________________________________________
Αν όλοι οι άγνωστοι έχουν συντελεστή τότε έχουμε λίγες πράξεις παραπάνω.




















γ) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών
    Πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις με κατάλληλους αριθμούς ώστε να  
    προκύψουν αντίθετοι συντελεστές στον ίδιο άγνωστο και κάνουμε πρόσθεση των εξισώσεων.
    Προσοχή!! Οι εξισώσεις να έχουν την κανονική μορφή. αx+βy=γ και α'x+β'y=γ'.















_____________________________
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Η μία εξίσωση είναι α' βαθμού και η άλλη ανωτέρου βαθμού.
Τα συστήματα αυτά λύνονται με αντικατάσταση.
Λύνουμε υποχρεωτικά την πρωτοβάθμια ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη.
(Υπάρχουν και τεχνάσματα για τη λύση τους αλλά ας τα αφήσουμε... για αργότερα!)

π.χ. Να λύσετε το σύστημα:
       2x+y=7 (i)  (Για τους...ψαγμένους, παριστάνει ευθεία)
      x2+y2=13 (ii)  (Παριστάνει κύκλο)
      Λύνουμε την (i) ως προς y (γλιτώνουμε τα κλάσματα)
      y=7-2x (iii)  (αντικαθιστούμε την (iii) στην (ii) και έχουμε:
     x2+(7-2x)2=13
     x2+49-28x+4x2-13=0
     x2-28x+36=0 η οποία είναι εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες x1=3,6 ή  x2=2.
     Αν x1=3,6 από την (iiiβρίσκουμε y1=-0,2. Άρα η λύση
     Αν x2=2 από την (iiiβρίσκουμε y2=3.
     Άρα η λύση του συστήματος είναι (x,y)=(3,6 , -0,2) ή (x,y)=(2,3)
     Να γράφετε την απάντηση όπως παραπάνω!!
     (Παρατήρηση: Τα δύο ζεύγη λύσεων είναι οι συντεταγμένες των σημείων τομής της 
      ευθείας με τον κύκλο)



________________
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Όλη η μαθητική ζωή σας θα είναι συναρτήσεις και πάλι συναρτήσεις, αφού όλα γύρω σας έχουν να κάνουν μ' αυτές.
π.χ. Η κατανάλωση της βενζίνης ενός αυτοκινήτου εξαρτάται (είναι συνάρτηση) από τη ταχύτητα.
      Ο μισθός ενός υπάλληλου εξαρτάται (είναι συνάρτηση) από τα χρόνια υπηρεσίας.
      Τα χρήματα που θα δώσουμε στον μανάβη εξαρτώνται  (είναι συνάρτηση) από τα κιλά που
      θα αγοράσουμε...

Στα μαθηματικά: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ είναι μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών x και y όταν σε
κάθε τιμή του x  αντιστοιχεί μία μόνο τιμή του y. (Προσοχή στα υπογραμμισμένα).




Στο σχήμα 1 έχουμε συνάρτηση διότι κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο του Β.
Στο σχήμα 2 δεν έχουμε συνάρτηση διότι το α αντιστοιχεί σε δύο στοιχεία του Β.
Στο σχήμα 3 δεν έχουμε συνάρτηση διότι το γ δεν  αντιστοιχεί σε κανένα στοιχείο του Β.
Στο σχήμα 4 δεν έχουμε συνάρτηση.  Γιατί;








Ανάλογα με τον τύπο μπορούμε να δημιουργήσουμε άπειρες συναρτήσεις. Οι πιο βασικές για την
 Γ' Γυμνασίου είναι: y=αx2  και y=αx+βx+γ. Συνήθως γράφουμε αντί για y το f(x).

_____________________
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ  f(x)=αx2  με α>0.
Για να μελετήσουμε μία συνάρτηση πρέπει να γνωρίζουμε τον τύπο της και τις τιμές του x. (το πεδίο ορισμού)
π.χ.  y=2x2, με α=2>0.       
         Επειδή δεν μας δίνουν τιμές για το x παίρνουμε όποιες θέλουμε. Για την συνάρτηση αυτή 
      παίρνουμε τιμές γύρω από το 0 και φτιάχνουμε πίνακα τιμών.

    Η συνάρτηση αυτή:
1) Έχει γραφική παράσταση μία καμπύλη που λέγεται 
    παραβολή.
2) Έχει κορυφή το σημείο Ο(0,0)
3) Έχει ελάχιστη τιμή το 0 όταν x=0.
4) Είναι συμμετρική ως προς άξονα συμμετρίας τον y'y.
5) Είναι φθίνουσα (πηγαίνει προς τα κάτω) όταν x<0 και 
    αύξουσα (πηγαίνει προς τα πάνω) όταν x>0.
6) Επειδή το 2x2 είναι θετικό και το y θα είναι θετικό, γι' αυτό 
    όλη η καμπύλη βρίσκεται "πάνω" από τον άξονα x'x.







Τα φανάρια των αυτοκινήτων και οι δορυφορικές κεραίες κατασκευάζονται με βάση τις παραβολές.
(Μπορείτε από το ιντερνέτ να κατεβάσετε το σχεδιαστικό πρόγραμμα Graph και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις)



_____________________
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ  f(x)=αx2  με α<0.
π.χ. y=-2x2, με α=-2<0.    



Η συνάρτηση αυτή:
1) Έχει γραφική παράσταση μία καμπύλη που λέγεται 
     παραβολή.
2) Έχει κορυφή το σημείο Ο(0,0)
3) Έχει μέγιστη τιμή το 0 όταν x=0.
4) Είναι συμμετρική ως προς άξονα συμμετρίας τον y'y.
5) Είναι αύξουσα (πηγαίνει προς τα πάνω) όταν x<0 και 
    φθίνουσα (πηγαίνει προς τα κάτω) όταν x<0. 
6) Επειδή το -2x2 είναι αρνητικό  και το y είναι αρνητικό, γι' 
    αυτό όλη η καμπύλη βρίσκεται "κάτω" από τον άξονα x'x.




Όταν το α μεγαλώνει η καμπύλη "κλείνει", ενώ όταν μικραίνει η καμπύλη "ανοίγει".

_______________________
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ  f(x)=αx2+βx+γ  με α>0.
Για να φτιάξουμε την γραφική της παράσταση δεν παίρνουμε τιμές γύρω από το 0, αλλά γύρω από τον αριθμό x =  - \frac{\beta }{{2\alpha }}.


Επίσης για να δείτε τι συμβαίνει όταν αλλάζουν οι συντελεστές ενός τριωνύμου, κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο του κ. Λοίζου στο blog "enallax".
http://www.enallax.com/exams/geogebra/alyk/l_trionymo.html
(Πρέπει να έχετε εγκατεστημένο το java. Αν δεν το έχετε κατεβάστε το από www.java.com )


ΣΥΝΟΛΑ 
ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Έχουν χαθεί μόρια σε Πανελλήνιες εξετάσεις από υποψήφιους που δεν ήξεραν τα σύνολα των αριθμών. Είναι κρίμα να συμβεί και σε σας.

















Ν: Φυσικοί αριθμοί (είναι οι αριθμοί με τους οποίους μετράμε)
Ζ: Ακέραιοι αριθμοί (είναι οι φυσικοί αριθμοί με + ή - ( Να θυμάστε: ακέραιος σημαίνει ολόκληρος).
Q: Ρητοί αριθμοί (είναι οι παραπάνω με τα κλάσματα και τους δεκαδικούς) Δηλαδή και...κομματάκια.
RΠραγματικοί αριθμοί (είναι όλοι)                                
ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ
Ένα σύνολο παριστάνεται με τρεις τρόπους.
α) Με αναγραφή. Γράφουμε μέσα σε άγκιστρα τα στοιχεία που περιέχει.
     π.χ. Α={0,2,4,6,8}
            Β={1,2,3,...,100}
       
β) Με περιγραφή {Γράφουμε τι είναι τα στοιχεία του | (διαβάζεται: όπου) ποια ιδιότητα έχουν}.
    π.χ. Α={xЄΝ | x άρτιος μονοψήφιος} δηλαδή Α={2,4,6,8}
           Β={xЄΝ | x ρίζα της εξίσωσης x2=9} δηλαδή Β={-3,3}
           Γ={γράμμα της λέξης "ΜΠΑΜΠΗΣ"} δηλαδή Γ={Μ,Π,Α,Η,Σ}.
           Κάθε στοιχείο γράφεται μία μόνο φορά.

γ) Με διάγραμμα. Μέσα σε κλειστή καμπύλη γράφουμε τα στοιχεία του.
    Το βασικό σύνολο Ω (η...μάνα όλων των συνόλων) παριστάνεται συνήθως με ορθογώνιο.

Ω={x |x μονοψήφιος φυσικός}
Α={x |x άρτιος μονοψήφιος φυσικός}






ΙΣΑ λέγονται τα σύνολα που έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.
π.χ. Τα σύνολα Α={-3,3} και Β={xЄΖ | x ρίζα της εξίσωσης x2=9} είναι ίσα.

Το σύνολο Α λέγεται ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ του Β αν τα στοιχεία του Α βρίσκονται και στο Β.
π.χ. Το Α={2,3,4}είναι υποσύνολο του Β={1,2,3,4,5}.
       Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του.




ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ
α) ΕΝΩΣΗ δύο συνόλων Α και Β λέγεται το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία και του Α και του Β.
π.χ. Αν Α={1,2,3,4} και Β={2,3,4,5,6}τότε AUB={1,2,3,4,5,6}.

β) ΤΟΜΗ δύο συνόλων Α και Β λέγεται το σύνολο που περιέχει τα κοινά στοιχεία των Α και Β.

π.χ. Αν Α={1,2,3,4} και Β={2,3,4,5,6}τότε AB={2,3,4}.

γ) ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ενός συνόλου Α ως προς βασικό σύνολο Ω, λέγεται το σύνολο Α' που περιέχει
    τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α.
    Υπόψη: ΑUA'=Ω και AΑ'={ }
π.χ. Αν Ω={1,2,3,4,5,6} και Α={1,2} τότε Α'={3,4,5,6}
















Πείραμα τύχης λέγεται αυτό που δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, παρόλο που
                          πραγματοποιείται με τις ίδιες ακριβώς συνθήκες.

Δειγματικός χώρος Ω λέγεται το σύνολο που περιέχει ΟΛΑ τα δυνατά αποτελέσματα.
π.χ. στη ρίψη ενός € είναι Ω={Κ, Γ} (Κουκουβάγια, Γράμματα).
π.χ. στη ρίψη δύο € είναι Ω={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}
π.χ. στη ρίψη ζαριού είναι Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}
π.χ. σε οικογένειες με τρία παιδιά είναι Ω={ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ}

Ενδεχόμενο είναι ένα υποσύνολο (κομμάτι) του δειγματικού χώρου.
Το ενδεχόμενο στη ρίψη ζαριού να φανεί άρτιο αποτέλεσμα είναι  Α={2, 4, 6}. Αυτοί οι αριθμοί  
λέγονται ευνοϊκές περιπτώσεις.
Αν στη ρίψη ζαριού η ένδειξη είναι 4, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο Α πραγματοποιήθηκε.
Το ενδεχόμενο Α: η ένδειξη είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6 πραγματοποιείται πάντοτε, γι' αυτό λέγεται 
βέβαιο ενδεχόμενο. Τότε Α={1, 2, 3, 4, 5, 6}=Ω.
Στη ρίψη ζαριού το ενδεχόμενο Β: η ένδειξη είναι -7 δεν πραγματοποιείται ποτέ, γι' αυτό 
λέγεται  αδύνατο ενδεχόμενο. Τότε B={ }.
π.χ. Παίζουμε "σύστημα" στη ρίψη ζαριού. Ποντάρουμε στα ενδεχόμενα Α={2, 4, 6} και Β={1, 2, 3}.   
       Θα κερδίσουμε είτε πραγματοποιηθεί είτε το Α είτε το Β. Δηλαδή το ΑΘΒ={1, 2, 3, 4, 6}.
       Αν θέλουμε να πραγματοποιηθεί και το Α και το Β, θα κερδίσουμε με το ΑΒ={2}.
      Αν θέλουμε να μην πραγματοποιηθεί το Α, θα κερδίσουμε με το Α'={1, 3, 5}.
     
π.χ. Παίζουμε "σύστημα" στη ρίψη ζαριού. Ποντάρουμε στην πραγματοποίηση και των δύο  
      ενδεχομένων Α={2, 4} και Β={1, 3} ταυτόχρονα. Άμα κερδίσετε ποτέ να ...μου γράψετε!!
      Τα ενδεχόμενα αυτά λέγονται ασυμβίβαστα. Τότε ΑΒ={ } (κενό) 
Α. Ισοπίθανα λέγονται τα ενδεχόμενα που έχουν την ίδια πιθανότητα να συμβούν.
    (Στην κλήρωση του LOTTO τα μπαλάκια ζυγίζονται κάθε φορά, γιατί αν κάποιο είναι βαρύτερο
      θα...σπρώχνει τα άλλα για να κατεβεί πρώτο στην τρύπα)
Β. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β είναι:
    P(AUB)=P(A)+P(B) αν Α, Β είναι ασυμβίβαστα ή
    P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) αν Α, Β όχι ασυμβίβαστα .

Γ. Για αντίθετα ενδεχόμενα ισχύει Ρ(Α)+Ρ(Α')=1

Δ. Η πιθανότητα να μη πραγματοποιηθεί το Α είναι Ρ(Α')=1-Ρ(Α)

Ε. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν τα Α και Β είναι Ρ(Α∩Β)

Ζ. Η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι P(AUB)'

π.χ. Μία ομάδα ασκήσεων μοιάζει με την παρακάτω:
        Από τους μαθητές ενός σχολείου το 80% μαθαίνει αγγλικά, το 30% γαλλικά και το 20% και τις
       δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα
       α) Να μαθαίνει μία τουλάχιστον γλώσσα.
       β) Να μη μαθαίνει καμία από τις δύο γλώσσες.
       γ) Να μαθαίνει και τις δύο γλώσσες.
     Μπορούμε να λύσουμε την άσκηση και γραφικά όπως φαίνεται στο σχήμα:









α) Η πιθανότητα να μαθαίνει μία τουλάχιστον γλώσσα είναι: P(AUB)=60%+20%+10%=90%
β) Η πιθανότητα να μη μαθαίνει καμία γλώσσα είναι: P(AUB)'=1-P(AUB)=1-90%=10%


γ) Η πιθανότητα να μαθαίνει και τις δύο γλώσσες είναι: Ρ(Α∩Β)=20%