Γ' ΓΥΜΝ. ΑΛΓΕΒΡΑ






Η διάταξη της ύλης αναφέρεται στο βιβλίο της διπλανής εικόνας.


Στο τέλος κάθε μαθήματος υπάρχουν οι απαντήσεις των ερωτήσεων κατανόησης του σχολικού βιβλίου.

ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Να μάθετε τα σύνολα των αριθμών. Έχουν χαθεί βαθμοί σε πανελλήνιες εξετάσεις από κάποιους που δεν τα ήξεραν.




Ν={0, 1, 2, 3,...} Φυσικοί αριθμοί (τους συναντούμε στη φύση).                  
Ζ={...-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,... } Ακέραιοι αριθμοί (ολόκληροι, όχι... κομματάκια).                 
Q={ ...-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,..., κλάσματα, δεκαδικοί}  Ρητοί αριθμοί και...κομματάκια.
R={Φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, άρρητοι} Πραγματικοί αριθμοί. Κάθε αριθμός είναι πραγματικός        


__________________________________________
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ
1. Πρόσθεση ρητών αριθμών  
  α) Για να προσθέσουμε ομόσημους ρητούς στο αποτέλεσμα βάζουμε το  κοινό πρόσημο 
      και προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές. π.χ. 3+7=10,  -7-4=-11
  β) Για να προσθέσουμε ετερόσημους ρητούς στο αποτέλεσμα βάζουμε το  πρόσημο της   
     μεγαλύτερης απόλυτης τιμής και αφαιρούμε τις απόλυτες  τιμές. π.χ. –3+7=4,  3-8=-5

2. Αφαίρεση ρητών αριθμών
   Για να αφαιρέσουμε δύο ρητούς, προσθέτουμε στον πρώτο τον αντίθετο  του δεύτερου. 
    π.χ. 3-(+8)=3+(-8)=-5.

3. Απαλοιφή παρενθέσεων  
    α) Αν μία παρένθεση έχει μπροστά (αριστερά) το (+) ή τίποτε φεύγει μαζί  με αυτό και  
 γράφουμε τους αριθμούς που  περιέχει όπως είναι. π.χ. 4+(-2+5-7)=4-2+5-7
β) Αν μία παρένθεση έχει μπροστά (αριστερά) το (-) φεύγει μαζί με αυτό  και γράφουμε το   
           αριθμούς που περιέχει  με αλλαγμένα πρόσημα. 
    π.χ. 4-(-2+5-7)=4+2-5+7         

4. Πολλαπλασιασμός
   α) Για να πολλαπλασιάσουμε ρητούς πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες  τιμές και βάζουμε  
       πρόσημο το (+) αν το πλήθος των αρνητικών  παραγόντων είναι άρτιο. 
        π.χ. 2(-4)(-3)5=+240
   β) Για να πολλαπλασιάσουμε ρητούς πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες  τιμές και βάζουμε  
      πρόσημο το (-) αν το πλήθος των αρνητικών  παραγόντων είναι  περιττό.
       π.χ. –3(-4)(-2)=-24
5. Επιμεριστική ιδιότητα
   α) Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με ένα άθροισμα ή διαφορά πολλαπλασιάζουμε
       τον αριθμό με κάθε όρο του αθροίσματος ή της  διαφοράς.
       π.χ. 3(-2+4-5)=-6+12-15
 β) Για να πολλαπλασιάσουμε ένα άθροισμα με  ένα άλλο  άθροισμα πολλαπλασιάζουμε κάθε  
    όρο του πρώτου αθροίσματος με κάθε όρο του δεύτερου.
     π.χ. (-3+5)(4-7-6)=-12+21+18+20-35-30

6. Διαίρεση
    Διαιρούμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε το πρόσημο όπως στον  πολλαπλασιασμό 
     π.χ. –8:(-2)=+4 ,  -12:3=-4

7. Προτεραιότητα των πράξεων
   Για να υπολογίσουμε μια αριθμητική παράσταση κάνουμε τις πράξεις με  τη σειρά:
       α) Παρενθέσεις
       β) Πολλαπλασιασμοί ή διαιρέσεις
       γ) Προσθέσεις ή αφαιρέσεις.

____________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις και τα κελιά.
1.

-3
\frac{1}{2}
6
0,\bar 3
 -0,8
 \sqrt 3
 \sqrt {16}
3,14
π
 \frac{{22}}{7}
Ακέραιος
  x

  x



   x



Ρητός
  x
   x
  x
   x
   x

   x
   x

    x
Άρρητος





   x


    x

2. α) (4)     β) (0)     γ) (-11)     δ) (-2/3)     ε) (0)    στ) (1)     ζ) (30/12)     η) (-8/20)     θ) (-1)
3. α) (-11x)     β) (-6+15x)     γ) (9x)     δ) (-2(x-3)=-2x+6)     ε) (6+3y+2x+xy)     στ) (4(3x+2))
4. i) β    ii) δ
5. α) Σ     β) Λ     γ) Λ (ή 0)     δ) Σ


3. Πρόσημο δύναμης
   α) Δύναμη με βάση θετικό είναι θετικός αριθμός  π.χ. 43=64
   β) Δύναμη με βάση αρνητικό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθμός π.χ. (-2)4=+16
   γ) Δύναμη με βάση αρνητικό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός π.χ. (-2)3=-8

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ (Να τις ξέρετε και με λόγια!)
   α) Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση αφήνουμε την ίδια βάση  
       και προσθέτουμε τους εκθέτες, δηλ αμανμ+ν   π.χ. 232425=212

 β) Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση αφήνουμε την ίδια βάση και 
       αφαιρούμε τους εκθέτες, δηλ αμνμ-ν  π.χ.  56:54=52

 γ) Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του 
       γινομένου στον εκθέτη αυτόν, δηλ. (αβγ)ννβνγν    π.χ. (2·3·4)5=253545

 δ) Για να υψώσουμε ένα κλάσμα σε έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε όρο του κλάσματος 
       στον εκθέτη αυτό. δηλ. {\left( {\frac{\alpha }{\beta }} \right)^\nu } = \frac{{{\alpha ^\nu }}}{{{\beta ^\nu }}}      π.χ.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^4} = \frac{{{2^4}}}{{{3^4}}} = \frac{{16}}{{81}}

ε) Για να υψώσουμε μια δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης  
        στο  γινόμενο των εκθετών, δηλ. ν)μνμ   π.χ.  (23)4=212=4096

Δείτε τα παραδείγματα (προσέχετε τις παρενθέσεις)
       23=2·2·2=8
   (-2)3=(-2)(-2)(-2)=-8  (Η βάση της δύναμης είναι το -2)
     -24= -2·2·2·2=-16      (Η βάση της δύναμης είναι το 2)
   (-2)4=(-2)(-2)(-2)(-2)=+16

π.χ. Να υπολογίσετε την παράσταση: 826:825+4(-8+7)34-(-9+8)45-3(-5+4)32  Μην τρομάζετε!
        Φούσκα είναι.
        =81+4(-1)34-(-1)45-3(-1)32=
        =8+4·1-(-1)-3·1=
        =8+4+1-3=10.

π.χ. Αν α=2 και β=3 να συγκρίνετε τις παραστάσεις: (α+β)2 και α2+2αβ+β2
          Έχουμε: (α+β)2=(2+3)2=52=25
                     α2+2αβ+β2=22+2·2·3+32=4+12+9=25. Άρα είναι ίσες.

π.χ. Αν x=-3 να υπολογίσετε την παράσταση 5x3-4x2+x-7.
       Έχουμε 5(-3)3+4(-3)2+(-3)-7=5·(-27)+4·9-3-7=-135+36-3-7=-109

____________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Δυνάμεις)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. α) Λ     β) Σ     γ) Σ     δ) Σ     ε) Σ     στ) Λ     ζ) Λ
2. α) (=1)     β) (=1/9)     γ) (=-16)     δ) (=2/5)      ε) (=1/25)     στ) (=1)      ζ) (=-1/32)     η) (81¹53)
3. i) (γ)     ii) (δ)    iii) (β)
4. (α®5, β®6, γ®1, δ®4)


ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ











____________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Ρίζες)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1.  \alpha ){\rm{ }}4\sqrt 3 {\rm{      \beta ) 2}}\sqrt 2 {\rm{      \gamma ) 0      \delta ) 6      \varepsilon ) 3      \sigma \tau ) 12 }}
2. (α®3,  β®2, γ®1, δ®3, ε®3, στ®2)








4. α) Σ     β) Λ     γ) Σ     δ) Σ     ε) Λ     στ) Λ     ζ) Σ
5. (Ναι)

______________________________________________
ΜΟΝΩΝΥΜΑ
Είναι οι αλγεβρικές παραστάσεις που υπάρχει μόνο πολλαπλασιασμός μεταξύ των μεταβλητών.
π.χ. Οι παραστάσεις 2αβ,    -3α2β3γ,    (2,3-5)α4βγ2 είναι μονώνυμα,
       ενώ οι παραστάσεις 2α-2β,    2α(β+γ) δεν είναι.

____________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Μονώνυμα)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις και τα κελιά.
1. (α, δ, ε, στ)
2. (α, στ, η), (β, δ, ζ, ι), (γ, ε, θ)
3.  
Μονώνυμο
Συντελεστής
Κύριο μέρος
Βαθμός ως προς x
Βαθμός ως προς y
Βαθμός ως προς x και y
5xy4
5
xy4
1
4
5
-xy2
-1
-xy2
1
2
3
1/7x2y5 
1/7
7x2y5  
2
5
7
 - \sqrt 3 x4 
 - \sqrt 3  
x4
4
0
4
4. (-1/3xy2ω3 και +1/3xy2ω3 )
5. Οριζόντια (1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ  2. ΣΤΑΘΕΡΑ  3. ΜΗΔΕΝ  4. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ  5. ΙΣΑ  6. ΜΟΝΑΔΑ   7. ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ   8. ΜΟΝΩΝΥΜΟ)
    Κάθετα (1. ΜΗΔΕΝΙΚΟ  2.ΒΑΘΜΟΣ  3.ΑΚΕΡΑΙΑ  4.ΑΝΤΙΘΕΤΑ  5.ΟΜΟΙΑ  6.ΤΙΜΗ  7.ΜΗΔΕΝ  8.ΑΦΑΙΡΕΣΗ)

_________________________
ΠΡΟΣΘΕΣΗ- ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ
Προσθέτουμε ή αφαιρούμε μόνο όμοια μονώνυμα. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους συντελεστές και κύριο μέρος αφήνουμε το ίδιο. 
(Κρατείστε την σειρά του αλφαβήτου, γιατί τα μονώνυμα -3α2β και -3βαείναι όμοια, αλλά...δεν φαίνονται)
π.χ. 2x+5x-3x=4x
       2αβ-4αβ+7αβ=5αβ
       2αβ-3α=?
       2x2+3x=?
________________________________________________
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ
Πολλαπλασιάζουμε πρόσημο με πρόσημο, συντελεστή με συντελεστή, κύριο μέρος με 
κύριο μέρος. 
π.χ. (-3α2β3γ) (4α4β)=-12α6β4γ

____________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Πράξεις με μονώνυμα)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις
1. α) Σ    β) Λ    γ)Σ     δ) Λ 
2. α) (-3x2)     β) (-10x5)     γ) (5x-2y)     δ) (3x2y)     ε) (2xy3)     στ) (2x2)     ζ) (-2x2ω)     η) (-3xy2)     θ) (7x2y)

________________________________________________
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
Πολυώνυμο λέγεται ένα άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια. Κάθε μονώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου. Ο μεγαλύτερος εκθέτης ως προς μία μεταβλητή του λέγεται βαθμός του πολυωνύμου.
π.χ. Η παράσταση 3x4-5x3+7x2-4x+12 είναι ένα πολυώνυμο 4ου βαθμού, διατεταγμένο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής.
π.χ. Το 5=5x0 δηλαδή κάθε αριθμός θεωρείται σταθερό πολυώνυμο με βαθμό το 0.
        Το 0=0xλέγεται μηδενικό πολυώνυμο.

___________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. (β, γ)
2. (α, γ) (οι αντίθετοι όροι "φεύγουν")
3. (Ναι, τα όμοια μονώνυμα κάτω από τα όμοια)
4. (γ)
5. α) (3)     β) (0 ή 1 ή 2. Δείτε τις περιπτώσεις: 
    Aν Α(x)=x2+3x+1 και Γ(x)=-x2-3x+4  τότε Α(x)+Γ(x)=5 δηλαδή μηδενικού βαθμού) 
    Αν Α(x)=x2+3x+1 και Γ(x)=-x2-7x+4  τότε Α(x)+Γ(x)=-4x+5 δηλαδή πρώτου βαθμού) 
    Αν Α(x)=x2+3x+1 και Γ(x)=4x2-7x+4  τότε Α(x)+Γ(x)=5x2-4x+5 δηλαδή δευτέρου βαθμού
                                                                                   
________________________________________________
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
α) Πολλαπλασιάζουμε  κάθε όρο του πρώτου αθροίσματος με κάθε όρο του δεύτερου.
β) Είναι προτιμότερο να γράφουμε το αποτέλεσμα αμέσως.
π.χ. (2α+3β)(4α5β)=2+10αβ+12αβ15β2=2+22αβ15β2
π.χ. (2x3)(x2+1)(3+x2)(x+4)=  Υπολογίζουμε τα γινόμενα και τα βάζουμε σε παρένθεση!!
       =(2x3+2x3x23)(3x12+x3+4x2)=
       =2x3+2x3x23+3x+12x34x2=
       =x37x2+5x+12.

___________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. (α®5,  β®7,  γ®1,  δ®3,  ε®6)
2. α) Λ (5ου βαθμού)     β) Σ
3. α) (x(2x+4)=2x2+4)      β) (3x2(xy-2)=3x3y-6xy))    γ) ((x+5)(2x+3)=2x2+3x+10x+15)
    δ) ((x2+y)(x-y2)=x3-x2y2+xy-y3 )
4. i) (γ)      ii) (δ)
5. (α και δ)

_____________________________________________
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
Αν σε ρωτήσει κάποιος μεγάλος σε ηλικία σε ποια τάξη πηγαίνεις και απαντήσεις: "στην τρίτη" θα ακολουθήσει η ερώτηση: ¨τις ταυτότητες τις κάνατε;"
Αυτό σημαίνει ότι είναι από τα βασικότερα μαθήματα της Γ' Γυμνασίου.
Οι ταυτότητες είναι απλά γινόμενο πολυωνύμων. Είναι πολύ χρήσιμες γι' αυτό έχουν τυποποιηθεί.
Τις μαθαίνετε απέξω, παπαγαλία!!
    1) (α+β)22+2αβ+β2
    2) (α-β)22-2αβ+β2
    3) (α-β)(α+β)=α22  
    4) (α+β)33+3α2β+3αβ23 (οι δυνάμεις του α κατεβαίνουν και του β ανεβαίνουν)
    5) (α-β)33-3α2β+3αβ23    (τα πρόσημα μπαίνουν εναλλάξ)
    6) (α-β)·2+αβ+β2)=α33    
    7) (α+β)·2-αβ+β2)=α33    

To νου σας στις ταυτότητες: (-α+β)2=(β-α)2   και  (-α-β)2=(α+β)2

Οι ταυτότητες ισχύουν για οποιουσδήποτε αριθμούς α και β.
Προσοχή! Αντικαθιστούμε μόνο τους αριθμούς, χωρίς τα πρόσημα.
π.χ.  (2x-3y)2=(2x)2-2·(2x)·(3y)+(3y)2= 4x2-12xy+9y2
                όχι =(2x)2-2·(2x)·(-3y)+(-3y)2

Αν ξεχάσετε κάποτε τις ταυτότητες μην τρομάξετε!! Αποδείξτε τις εκείνη τη στιγμή.
π.χ. (α-β)3=(α-β)(α-β)(α-β)=...

Σημείωση: Αναζητήστε το τρίγωνο του Pascal για να μάθετε πως υπολογίζονται μεγάλες δυνάμεις. π.χ. (α+β)7


___________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Αξιοσημείωτες ταυτότητες)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. (α, γ, δ)
2. i) (δ)     ii) (γ)     iii) (γ)
3. α) Λ     β) Σ     γ) Λ    δ) Λ
4. i) (γ)      ii) (δ)
5. α) Λ      β) Λ      γ) Λ     δ) Σ
6. i) (γ)     ii) (β)     iii) (δ)     iv) (γ)     v) (δ)
7. (α®4,  β®5,   γ®1,   δ®2,   ε®7,   στ®8)

______________________________________________
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ
 Θα σας απασχολούν δύο ερωτήματα:
Α. Πόσους όρους έχει η παράσταση;
    Οι όροι χωρίζονται με τα + ή -. 
 π.χ. Η παράσταση 2α-3(α+β)+4αγ έχει τρεις όρους. Το 3(α+β) θεωρείται ένας όρος.
Β. Ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι; (με τη σειρά που δίνονται)

1 . Κοινός παράγοντας   (όροι οσοιδήποτε)
      i) Στηριζόμαστε στην ιδιότητα: αβ+αγ+αδ=α(β+γ+δ)
     ii) Ο κοινός παράγοντας βγαίνει με τον μικρότερο εκθέτη.
π.χ. 2x5y+4x3y3=2x3y(x2+2y2
    iii) Αλλαγή θέσης   α-β=-(β-α)
π.χ. α(x-y)-β(y-x)=α(x-y)+β(x-y)=(x-y)(α+β)
    iv) Αλλαγή πρόσημου -α +β=-(α-β)
π.χ. x(α-2)-α+2=x(α-2)-(α-2)=(α-2)(x-1)
     v) Όταν βγάζουμε αρνητικό κοινό παράγοντα, αλλάζουμε τα πρόσημα
π.χ. 2αβ-6αγ=-2α(-β+3γ)

2. Ομαδοποίηση   (όροι 4 ή 6)
    i) Βγάζουμε τρεις φορές κοινό παράγοντα.
   ii) Το α2 2  και οι πρωτοβάθμιοι όροι (π.χ. x+5) δεν αναλύονται.
π.χ. α32β+αβ-β2 =α2(α-β)+β(α-β)=(α-β)(α2+β).

3. Διαφορά τετραγώνων  (όροι 2)
    Μορφή: α22 =(α-β)(α+β)
    Πρέπει να έχουμε δύο όρους τέλεια τετράγωνα.
π.χ. α2-25=α2-52 = (α-5)(α+5)

4. Διαφορά, Άθροισμα κύβων (όροι 2)
     Μορφή: α33=(α-β)(α2+αβ+β2) ή  α33=(α+β)(α2-αβ+β2)
     Πρέπει να έχουμε δύο όρους τέλειους κύβους.
π.χ. 8x3-27=(2x)3-33=(2x-3)(4x2+2x3+32)=(2x-3)(4x2+6x+32).

5. Ανάπτυγμα τετραγώνου.   (όροι 3)
    Μορφή: α2-2αβ+β2=(α-β)2   ή    α2+2αβ+β2=(α+β)2
    Οι δυο όροι να είναι τέλεια τετράγωνα και ο τρίτος να είναι το διπλάσιο γινόμενό τους.
π.χ. x2+6x+9=x2+2x3+32=(x+3)2

6. Τριώνυμο της μορφής  x2x(όροι 3)
    Ψάχνουμε να βρούμε δύο αριθμούς κ και λ με άθροισμα Α και γινόμενο Γ.
    Τότε x2x+Γ= (x+κ)(x+λ)
π.χ. Να γίνει γινόμενο x2+x-6
       Γινόμενο -6 έχουν τα ζευγάρια: (1,-6), (-1,6), (2,-3), (3,-2). 
      Από αυτά άθροισμα 1 δίνει το τελευταίο.
      Άρα  x2+x-6=(x+3)(x-2)

7. Τριώνυμο της μορφής  αx2x+γ (όροι 3)
   (Δείτε παρακάτω στις εξισώσεις δευτέρου βαθμού)

8. Διαίρεση πολυωνύμων (Δείτε παρακάτω).

_________
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Η παραγοντοποίηση χρησιμεύει:
α) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού ενός κλάσματος.
     Δηλαδή ποιες τιμές επιτρέπεται να πάρει η μεταβλητή σε ένα κλάσμα.
π.χ. Να βρείτε πότε ορίζεται το κλάσμα \frac{{ - 3x + 5}}{{{x^2} - 9}}.
      Πρέπει ο παρονομαστής να είναι διαφορετικός από το 0. Δηλαδή
      x2-90 ή
      (x-3)(x+3)0 
      άρα x-30 και x+30 και τελικά x3 και x-3. (Προσοχή στο και
     

β) Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα.
 Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα πρέπει οι όροι του να είναι γινόμενα.
π.χ. Να απλοποιηθεί το κλάσμα:




γ) Για να λύσουμε εξισώσεις με βαθμό μεγαλύτερο του πρώτου.
π.χ. Να λύσετε την εξίσωση:
       x3+4x2=x+4        Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α' μέλος
       x3+4x2-x-4=0      Κάνουμε παραγοντοποίηση
       x2(x+4)-(x+4)=0
       (x+4)(x2-1)=0
       (x+4)(x-1)(x+1)=0
      Άρα x=-4 ή x=1 ή x=-1 (Προσοχή στο ή)

___________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Παραγοντοποίηση)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις και τα κελιά..
1. (α-γ-στ-ζ)
2. α) (x+2)     β) (3α-y)     γ) (6x)     δ) (x-2)     ε) (x+1)     στ) (x-2)
3. (γ)
4. α) Σ    β) Λ    γ) Σ    δ) Λ    ε) Σ    στ)Λ
5. Σ (Εμβαδόν μεγάλου-Εμβαδόν μικρού)
6. α) (α2+2α+4)     β) (α2-3α+9)    γ) (4x2+2x+1)     δ) (1-5y+25y2)
7. α) Λ    β) Σ     γ) Λ    δ)  Σ
8. α) (x+3)     β) (2α-1)     γ) (y2 )    δ) (5+x2 )
9. (γ)
10.
x2+(α)x+αβ
αβ
α+β
α
β
(x+α) (x+β)
x2+3x+2
2
3
1
2
(x+1)(x+2)
x2–3x+2
2
-3
-1
-2
(x-1)(x-2)
x2+5x–6
-6
5
6
-1
(x+6)(x-1)
x2+5x+6
6
5
2
3
(x+2)(x+3)
x2-x–2
-2
-1
-2
1
(x-2)(x+1)
x2+x–2
-2
1
2
-1
(x+2)(x-1)
11. α) (x+1)(x+2)       β) (x+ \sqrt 2  )(x+\sqrt 3 ) 


______________________________________________
ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
Γίνεται όπως η διαίρεση με αριθμούς.
α) Πρέπει τα πολυώνυμα να είναι διατεταγμένα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής.
β) Ο βαθμός του διαιρετέου να είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον βαθμό του διαιρέτη.
γ) Σαν επαλήθευση χρησιμοποιούμε την ισότητα της διαίρεσης: Δ=δπ+υ.
δ) Η διαίρεση χρησιμοποιείται ως μία μορφή παραγοντοποίησης.
































___________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Διαίρεση)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις και τα κελιά..
1. i) (δ)    ii) (γ)    iii) (β)
2
Βαθμός Διαιρετέου
Βαθμός διαιρέτη
Βαθμός πηλίκου
8
3
7
 5
2
 9
6
3
3. α) Σ     β) Λ     γ) Λ    δ) Σ    ε)Σ    



______________________________________________
 Ε.Κ.Π.- Μ.Κ.Δ
Για να βρούμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη κάνουμε παραγοντοποίηση..
π.χ. Ποιο είναι το ΕΚΠ και ο ΜΚΔ των παραστάσεων:
      Α=12x3y-12xy3
      B=16x4-16y4
      Γ=20x3(x-y)2(x+y)   
     Μετατρέπουμε τις παραστάσεις σε γινόμενο (και τους συντελεστές).
     Α=22·3xy(x-y)(x+y)
     B=24(x2+y2)(x-y)(x+y)
     Γ=22·5x3(x-y)2
Το EKΠ αποτελείται από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη.
ΕΚΠ: 24·3·5x3y(x-y)2(x2+y2)(x+y)
O MKΔ αποτελείται από τους κοινούς παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη.
ΜΚΔ: 2(x-y)

___________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (ΕΚΠ- ΜΚΔ)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις και τα κελιά..
1. α®4,    β®2,    γ®1
2

4x3
2x(x–1)
9(x–1)2
6x2
12x3
6x2(x–1)
18x2(x–1)2
x2(x–1)
4x3(x–1)
2x2(x–1)
9x2(x–1)2
8x5
8x5
8x5(x–1)
72x5(x–1)2
3. α®2    β®4    γ®3
4

3x2
x4(x–2)2
6(x–2)3
6x(x–2)2
3x
x(x–2)2
6(x–2)2
2x3(x–2)
x2
x3(x–2)
2(x–2)
3x3(x–2)3
3x2
x3(x–2)2
3(x–2)3



______________________________________________
ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ














_____________________________________________
Απλοποίηση κλάσματος σημαίνει να βρούμε ένα ίσο κλάσμα με μικρότερους όρους.
Διαιρούμε και τους δύο όρους με τον Μέγιστο Κοινό διαιρέτη τους (ΜΚΔ)
Προσοχή στις απλοποιήσεις!! 
\frac{{\alpha  + \beta }}{\beta } = \alpha   Σωστό ή Λάθος;  (Λάθος. Οι όροι να είναι γινόμενο) Τσεκάρετε πάνω στην παρένθεση
\frac{{\alpha  + 3}}{{\beta  + 3}} = \frac{\alpha }{\beta }  Σωστό ή Λάθος;  (Λάθος. Οι όροι να είναι γινόμενο












___________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις και τα κελιά..
1. α®6,    β®3,    γ®4      δ®1,    ε®5
2. α) Λ    β) Σ    γ) Σ    δ) Λ    ε) Σ    στ) Λ
3. α) (x-2)    β) ((α-β)/(α+β))     γ) (x+1)     δ) (x)     ε) (2(α+β))      στ) ((x+2)2)
4. (Όχι. Πρέπει και x¹0)

_______________________________________________


























___________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Πολλαπλασιασμός- Διαίρεση κλασμάτων)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. α) Λ    β) Σ    γ) Λ    δ) Σ    ε) Σ    στ) Λ    ζ) Λ    η) Σ
2. α) (2x)     β) (xy)    γ)(4x)    δ) ((x-1)/(x+2))     ε) ((x+2)/(x-1))     στ) (y)  





























__________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Πρόσθεση- Αφαίρεση κλασμάτων)
1. α) Σ     β) Λ     γ) Σ     δ) Σ     ε) Λ     στ) Λ
2. α) Σ    β) Λ ((x+3)/(x+1))
3. α) \frac{x}{{x + 6}}     β) \frac{6}{{x + 6}}     γ) \frac{x}{{x + 1}}     δ) \frac{6}{{x + 2}}      ε) \frac{1}{x}     στ) \frac{8}{x}


____________________________________________
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α) Εξισώσεις α' βαθμού.
Για να λύσουμε μία εξίσωση εργαζόμαστε με τη σειρά:
1) Απαλείφουμε τους παρονομαστές. Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ.
    (Δεν κάνουμε πολλαπλασιασμούς αλλά απλοποιήσεις!)
π.χ. Να λύσετε την εξίσωση \frac{{x + 4}}{3} - \frac{{x - 4}}{5} = 2 + \frac{{3x - 1}}{{15}}
      Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ=15 (Ξέρετε πως το βρίσκουμε;)

      15\frac{{x + 4}}{3} - 15\frac{{x - 4}}{5} = 15 \cdot 2 + 15\frac{{3x - 1}}{{15}}  Κάνουμε τις απλοποιήσεις και όχι τους πολλαπλασιασμούς)

     5(x + 4) - 3(x - 4) = 30 + (3x - 1)  Απαλείφουμε τις παρενθέσεις

      5x+20-3x+12=30+3x-1  Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους

      5x-3x-3x=30-1-20-12     Κάνουμε τις αναγωγές όμοιων όρων

      -1x=-3                            Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου

      \frac{{ - 1x}}{{ - 1}} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}}  Άρα x=3

________________________________________________________________
Αν η εξίσωση πάρει την μορφή 0x=α, λέμε ότι είναι αδύνατη. Δεν έχει λύσεις.
π.χ. 0x=4  (ποιος πολλαπλασιάζεται με το 0 και δίνει 4;)
         x=(αδύνατη). Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στην παρένθεση.

_____________________________________________________________________
Αν η εξίσωση πάρει την μορφή 0x=0, λέμε ότι είναι ταυτότητα. Έχει  άπειρες λύσεις.
π.χ. 2(x+1)=2x+2 
       0x=0, (ποιος πολλαπλασιάζεται με το 0 και δίνει 0;)
       x=(οποιοσδήποτε αριθμός).Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στην παρένθεση.

_____________________________________________________________________
Β) Εξισώσεις που...το παίζουν δευτέρου βαθμού
    π.χ. Να λυθεί η εξίσωση (x+1)2+(x-2)2=2(x-3)2    Αναπτύσσουμε τις ταυτότητες
           x2+2x+1+ x2-4x+4=2(x2-6x+9)   Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α' μέλος
           x2+2x+1+ x2-4x+4-2 x2+12x-18=0 (οι όροι xαπλοποιούνται).
          10x=13 άρα x=1,3.


__________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Εξισώσεις)
1. α®1,    β®3,    γ®2,    δ®1
2. α) Σ    β) Λ     γ) Σ    δ) Λ    ε)Σ

______________________________________________________________________ 
Γ) Εξισώσεις β' βαθμού
Είναι όσες εξισώσεις έχουν τη μορφή αx2+βx+γ=0
  i) Αν β=0 δηλαδή αx2+γ=0 λύνονται όπως οι πρωτοβάθμιες ή με παραγοντοποίηση.
   π.χ.  2x2-18=0
             2x2=18
             x2=9 άρα x=3 ή x=-3.

  ή 2x2-18=0

             2(x2-9)=0
             2(x-3)(x+3)=0 άρα x=3 ή x=-3.

   π.χ.  2x2+18=0 
             2x2= -18 
             x2= -9  
             x=(αδύνατη) Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στην παρένθεση.

  ii) Αν γ=0 δηλαδή αx2+βx=0 λύνονται με παραγοντοποίηση.
      π.χ. 2x2-6x=0
            2x(x-3)=0
            x=0 ή x=3 ( η μία ρίζα θα είναι πάντα το 0)

  iii) Αν α, β, γ¹0 δηλαδή αx2+βx+γ=0, Λύση με συμπλήρωση τετραγώνου (ωχ!!) 
π.χ. Να λύσετε την εξίσωση  x2-4x+3=0 με συμπλήρωση τετραγώνου.
       Προσπαθούμε με τους δύο πρώτους όρους να φτιάξουμε ταυτότητα.
       x2-4x+4-4+3=0  (Προσθέτουμε και αφαιρούμε το 4)
       (x-2)2-1=0
       (x-2-1)(x-2+1)=0 ή (x-3)(x-1)=0 άρα x=3 ή x=1

____________________________________________________________
π.χ. Να λύσετε την εξίσωση  x2-5x+6=0 με συμπλήρωση τετραγώνου.
       Προσπαθούμε με τους δύο πρώτους όρους να φτιάξουμε ταυτότητα.
       \begin{array}{l}
{x^2} - 2x\frac{5}{2} + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + 6 = 0\\
{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4} + 6 = 0
\end{array}
       \begin{array}{l}
{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4} + \frac{{24}}{6} = 0\\
{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} = 0
\end{array}
       {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 0
      \left( {x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}} \right)\left( {x + \frac{5}{2} + \frac{1}{2}} \right) = 0 άρα x=3 ή x=2.

__________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Εξισώσεις 2ου βαθμού με συμπλήρωση ή παργοντοποίηση). Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. α) Λ     β) Σ    γ) Σ     δ) Λ      ε) Σ      στ) Σ
2. α) Σ     β) Λ (απλοποιούνται τα x2 )     γ) i) Σ    ii) Σ
3. (Δεν απλοποιούμε ΠΟΤΕ με άγνωστο παράγοντα. Χάνουμε ρίζες)

 iv) Αν α, β, γ¹0 δηλαδή αx2+βx+γ=0. Λύση με τον τύπο:
       x = \frac{{ - \beta  \pm \sqrt {{\beta ^2} - 4\alpha \gamma } }}{{2\alpha }}
_____________________________________________________________
π.χ. Να λύσετε την εξίσωση  2x2-10x+12=0
      α=2
      β=-10
      γ=12 άρα Δ=(-10)2-4·2·12=100-96=4

Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι κλάσματα ή άρρητες ΜΗΝ τις υπολογίζετε κατά προσέγγιση.
Είναι λάθος, γιατί αυτό που θα βρείτε, δεν επαληθεύει την εξίσωση.

__________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Εξισώσεις 2ου βαθμού με τον τύπο)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. (α®2,     β®3,     γ®1     δ®4)
2. α) Λ     β) Σ      γ) Λ (2(x-1)(x+3))
3. (β, δ)

______________________________________________________________________ 
Δ) Εξισώσεις ανωτέρου βαθμού
    Για να λύσουμε εξίσωση ανωτέρου βαθμού, μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος και      κάνουμε παραγοντοποίηση. Στηριζόμαστε στην ιδιότητα: Αν α·β=0 τότε α=0 ή β=0.
π.χ. Να λυθεί η...πονηρή  εξίσωση (x+3)(x2-1)=(x+1)(x2-9).
       Αν κάνετε τους πολλαπλασιασμούς...χάσατε, γιατί είναι πιθανόν να προκύψει εξίσωση 3ου   
       βαθμού και οι γνώσεις σας δεν φτάνουν.
        (x+3)(x2-1)-(x+1)(x2-9)=0
         (x+3)(x-1)(x+1)-(x+1)(x-3)(x+3)=0 ΔΕΝ απλοποιούμε ποτέ με άγνωστο!!   
         (x+3)(x+1)[(x-1)-(x+3)]=0
         (x+3)(x+1)[-4]=0  οπότε x=-3 ή x=-1.

π.χ. Να λύσετε την εξίσωση:  (x+3)2(x2-5x)(x+7)(x2-9)(x2-x-6)=0.
     Για να ισούται το γινόμενο αυτό με το 0 πρέπει ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες να είναι ίσος με το 0. Άρα
       (x+3)2=0 άρα x=-3
       x2-5x=0 ή x(x-5)=0 άρα x=0 ή x=5
       x+7=0 άρα x=-7
       x2-9=0 ή (x-3)(x+3)=0 άρα x=3 ή x=-3
       x2-x-6=0 άρα x=3 ή x=-2.

________________________________________________
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
Απαραίτητη και...πέρα από τις Πανελλήνιες εξετάσεις.
Γίνεται σύμφωνα με τον τύπο: αx2+βx+γ=α(x-ρ1)(x-ρ2)  όπου  ρ1, ρ2 οι ρίζες του τριωνύμου.
(πολλοί ξεχνούν το α!!)
π.χ. Να γίνει γινόμενο το τριώνυμο 2x2-10x+12
       Βρίσκουμε τις ρίζες της αντίστοιχης εξίσωσης. Είναι 2 και 3.
      Άρα 2x2-10x+12=2(x-2)(x-3).


π.χ. Να γίνει γινόμενο το τριώνυμο 2x2-12x+18.
       Έχει διπλή ρίζα το 3. Άρα 2x2-12x+18=2(x-3)2

π.χ. Να γίνει γινόμενο το τριώνυμο x2+2x+3.
       Έχει διακρίνουσα αρνητική. Άρα δεν γίνεται γινόμενο.

_______________________________________________
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Δείτε μερικές απλές υποδείξεις στη σελίδα Β" ΓΥΜΝ. ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να μεταβείτε πατήστε  Εδώ
π.χ. Να βρείτε δύο διαδοχικούς ρητούς αριθμούς με άθροισμα τετραγώνων 61.
       Έστω x ο ένας και x+1 ο επόμενος. 
       Πρέπει x2+(x+1)2=61
       x2+x2+2x+1=61
      2x2+2x-60=0  κ.λ.π. θα βρούμε x=5  ή x=-6
      Αν x=5 οι αριθμοί είναι 5 και 6. Αν x=-6 οι αριθμοί είναι -6 και -5.













_____________________________________________
ΚΛAΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λέγονται οι εξισώσεις που έχουν άγνωστο στον παρονομαστή. Λύνονται όπως οι εξισώσεις με κλάσματα. Δείτε στη σελίδα Β' ΓΥΜΝ. ΑΛΓΕΒΡΑ.Για να μεταβείτε πατήστε  Εδώ
Στο παράδειγμα που ακολουθεί δείτε τις ομοιότητες των κλασματικών εξισώσεων με τις εξισώσεις με κλάσματα. (Δεν είναι το ίδιο).


















__________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Κλασματικές εξισώσεις)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. α) Σ     β) Λ     γ) Λ     δ) Σ
2. (γ)
3. (δ)
4.(όχι, διότι το 1 μηδενίζει τους παρονομαστές)

_____________________________________________
AΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
Δείτε βασικές έννοιες στη σελίδα Β' ΓΥΜΝ. ΑΛΓΕΒΡΑ.Για να μεταβείτε πατήστε  Εδώ

Για να δείξουμε μία ανισότητα την μετασχηματίζουμε και καταλήγουμε σε ανισότητα 
που ισχύει.
Α) Για να δείξουμε ότι α>β, αρκεί να δείξουμε ότι α-β>0
π.χ.
Αν α>β να δείξετε ότι 5α+4>5β+4.
           Έχουμε: (5α+4)-(5β+4)=
                         =5α+4-5β-4=
                         =5α-5β=
                         =5(α-β)>0 που ισχύει επειδή α>β.

Β) Για να δείξουμε ότι μια παράσταση είναι θετική αρκεί να δείξουμε ότι είναι:
      i) άθροισμα θετικών ή
     ii) Γινόμενο ομόσημων ή
    iii) Τέλειο τετράγωνο.
π.χ. Να δείξετε ότι α2-6α+11>0.
        Η παράσταση γράφεται: α2-6α+9+2=(α-3)2+2>0. (Ισχύει ως άθροισμα θετικών)
  
π.χ. Αν x<2<y , να δείξετε ότι  xy-2(x+y)+4<0
       Η παράσταση γράφεται: (x-2)(y-2)<0 (Ισχύει ως γινόμενο ετεροσήμων)

π.χ. Να δείξετε ότι:  (α+β)2≥4αβ
      Η παράσταση γράφεται: (α+β)2-4αβ≥0         <=>     
                                             α2+2αβ+β2-4αβ≥0 <=>       
                                             (α-β)2≥0   (Ισχύει ως τέλειο τετράγωνο)                          
                                                                                        
Το σύμβολο  \Leftrightarrow  είναι απαραίτητο γιατί η αλήθεια της πρώτης σχέσης στηρίζεται στην
αλήθεια της τελευταίας.

_____________________________________________
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
Λύνονται όπως οι εξισώσεις.
Προσοχή!
α
) Όταν διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου και είναι αρνητικός αριθμός αλλάζει η 
    φορά της ανίσωσης.
β) Μία ανίσωση επαληθεύεται με πολλούς αριθμούς. Αφού δεν μπορούμε να τους γράψουμε 
    όλους τους...δείχνουμε. Γι' αυτό είναι απαραίτητος ο άξονας.
π.χ.  Να λύσετε την ανίσωση:
         2(x-3)+4<5(x+2)
         2x-6+4<5x+10
         2x-5x<10+6-4
        -3x<12
         x>-4




___________________________________________________________________
π.χ. Να λύσετε την ανίσωση:
         3(x-2)<3x-7
         3x-6<3x-7
         3x-3x<6-7
         0x<-1 άρα 0<-1. Επειδή καταλήξαμε σε ψευδή ανισότητα, η παραπάνω ανίσωση
         είναι αδύνατη.

___________________________________________________________________
π.χ. Να λύσετε την ανίσωση:
         x<x+2
         x-x<2
         0x<2 άρα 0<2. Επειδή καταλήξαμε σε αληθή ανισότητα, η παραπάνω ανίσωση
         επαληθεύεται με όλους τους αριθμούς.

___________________________________________________________________
π.χ. Πότε έχει νόημα η παράσταση Α=\sqrt {x - 3}  + \sqrt {7 - x}  ;
       Πρέπει το υπόριζο να μην είναι αρνητικό. Άρα x-3³0 και 7-x³0. Δηλαδή x³3 και x£7.


__________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Ανισότητες- Ανισώσεις)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. α) Σ     β) Σ    γ) Σ     δ) Λ     ε) Λ     στ) Σ     ζ) Σ     η) Σ
2. α) (α-3>0)     β) (α<γ)     γ) (α/β<0)    δ) (α³β)     ε) (α2>0)      στ) (α+β£0)
3. (Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το 4. Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 3)
4. α) (Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το 4)    
    β) (Αφαιρούμε και από τα δύο μέλη το 2)
    γ) (Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το 5)    
   δ) (Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το -6)
5. (α και γ)
6. (Πρέπει οι παρονομαστές να είναι ομόσημοι, π.χ. 2/3>4/(-5) και τελικά -10>12!!)
   Η λύση του σταυρόλεξου στις γενικές ασκήσεις 2ου κεφαλαίου:
  Οριζόντια:  1) (ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ)   2) (ΔΙΑΤΑΞΗ)   3) (ΑΟΡΙΣΤΗ)    4) (ΡΙΖΑ)   5) (ΔΙΠΛΗ)      6) (ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ)   7) (ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ)
  Κάθετα: 1) (ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ)   2) (ΔΥΟ    3) (ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ)    4) (ΜΙΑ)    5) (ΛΥΣΗ)   
  6) (ΑΔΥΝΑΤΗ)

_____________________________________________
Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ αx+βy=γ
Κάθε εξίσωση της μορφής αx+βy=γ έχει άπειρες λύσεις, που είναι οι συντεταγμένες των σημείων της γραφικής της παράστασης. Η γραφική παράσταση είναι ευθεία, γι' αυτό λέγεται γραμμική.
      Ανάλογα με τις τιμές των α, β, γ η εξίσωση αx+βy=γ παίρνει τις παρακάτω μορφές:
1) Αν α,β,γ0, τότε η εξίσωση παίρνει τη γνωστή μας μορφή y=αx+β.
2) Αν α=β=0 τότε 0x+0y=γ
    π.χ. 0=5 αδύνατη.
3) Αν α=0 τότε 0x+βy=γ ή βy=γ.
    π.χ. y=2 που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα x'x.
4) Αν β=0 τότε αx+0y=γ ή αx=γ.
    π.χ. x=3 που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα y'y.
5) Αν γ=0 τότε αx+βy=0 ή y=-\frac{\alpha }{\beta }x
    π.χ. y=2x, που παριστάνει ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
       

 Και οι άξονες έχουν εξίσωση!
 Ο οριζόντιος άξονας x'x έχει εξίσωση y=0, ενώ
 ο κατακόρυφος άξονας y'y έχει εξίσωση x=0.









π.χ. Κάθε πορτοκαλάδα κοστίζει 2€ και κάθε λεμονάδα 3€. Αν διαθέτουμε 24€ πόσες πορτοκαλάδες και πόσες λεμονάδες μπορούμε να αγοράσουμε;
       Αν ονομάσουμε x τις πορτοκαλάδες και y τις λεμονάδες τότε πρέπει 2x+3y=24.
       Προσοχή!! Οι αριθμοί x, y πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί.
       Η παραπάνω εξίσωση έχει πολλές λύσεις. Δίνουμε τιμές στο x και βρίσκουμε τις αντίστοιχες
       τιμές του y. Οι λύσεις φαίνονται στον πίνακα:
x
0
3
6
12
y
8
6
4
0

π.χ. Να λύσετε την εξίσωση x+y=5, όταν x,y ЄN
         



Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι οι συντεταγμένες μόνο των σημείων (0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0).





π.χ. Να λύσετε την εξίσωση x+y=5, όταν x, y ЄR. 





     Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι οι 
      συντεταγμένες ΟΛΩΝ των σημείων της ευθείας.





__________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Η έννοια της γραμικής εξίσωσης)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. ((3,2)  (0,6)  (-3,10))
2. α) Λ    β) Σ    γ) Σ    δ) Λ
3. (α®4,  β®3,  γ®1,  δ®2)
4. i) (γ)   ii) (δ)
5. i) (δ)   ii) (β)


____________________________________________
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
(Λέγονται έτσι γιατί οι εξισώσεις έχουν γραφική παράσταση μία ευθεία)
Αν έχουμε δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους, (πακέτο) λέμε ότι έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων.
Πρόβλημά μας είναι να υπολογίσουμε τους αγνώστους ώστε να επαληθεύονται και οι δύο εξισώσεις
π.χ. Να λύσετε το σύστημα x+y=5
                                             x-y=1.
   Δηλαδή ζητάμε δύο αριθμούς με άθροισμα 5 και διαφορά 1
   Προφανώς είναι το 3 και το 2. Πώς τα βρίσκουμε όμως;

Υπάρχουν πολλές μέθοδοι. Εδώ θα μάθουμε τρεις.
α) Γραφική λύση.
    Κατασκευάζουμε την γραφική παράσταση των δύο εξισώσεων. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής είναι η λύση του συστήματος. Επειδή χρειάζεται πολύ καλό σχήμα δεν την προτιμάμε ή καταφεύγουμε σε...ηλεκτρονική λύση μέσω υπολογιστή π.χ. το Graph ή το Grapher για smartphone.

__________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. (Δ)
2. (α®2,  β®3,  γ®1)
3. α) (-3,-2)    β) (3,2)    γ) (6,0)    δ) (0,0)



β) Μέθοδος αντικατάστασης.
    Λύνουμε την μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο (προτιμάμε αυτόν που έχει συντελεστή το 1) και αντικαθιστούμε στην άλλη.
π.χ. Να λύσετε το σύστημα:
       x+2y=4 (i)
      3x-4y=2 (ii)
      Λύνουμε την (i) ως προς x (γλιτώνουμε τα κλάσματα)
      x=4-2y (iii)  (αντικαθιστούμε την (iii) στην (ii) και έχουμε:
     3(4-2y)-4y=2
     12-6y-4y=2
      -10y=-10
      άρα y=1 και από την (iii) βρίσκουμε x=2.

______________________________________________________________
Αν όλοι οι άγνωστοι έχουν συντελεστή τότε έχουμε λίγες πράξεις παραπάνω.




















γ) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών
    Πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις με κατάλληλους αριθμούς ώστε να  
    προκύψουν αντίθετοι συντελεστές στον ίδιο άγνωστο και κάνουμε πρόσθεση των εξισώσεων.
    Προσοχή!! Οι εξισώσεις να έχουν την κανονική μορφή. αx+βy=γ και α'x+β'y=γ'.
















__________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. (δ)    2. (δ)     3. (γ)
4. (Με 1 και -2. Με 5 και 3)
5. (α, δ με αντικατάσταση, ενώ τα β, γ με αντίθετους συντελεστές)
6. (Σ1: αδύνατο, Σ2: αόριστο)

______________________________________________
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Η μία εξίσωση είναι α' βαθμού και η άλλη ανωτέρου βαθμού.
Τα συστήματα αυτά λύνονται με αντικατάσταση.
Λύνουμε υποχρεωτικά την πρωτοβάθμια ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη.
(Υπάρχουν και τεχνάσματα για τη λύση τους αλλά ας τα αφήσουμε... για αργότερα!)

π.χ. Να λύσετε το σύστημα:
       2x+y=7 (i)  (Για τους...ψαγμένους, παριστάνει ευθεία)
      x2+y2=13 (ii)  (Παριστάνει κύκλο)
      Λύνουμε την (i) ως προς y (γλιτώνουμε τα κλάσματα)
      y=7-2x (iii)  (αντικαθιστούμε την (iii) στην (ii) και έχουμε:
     x2+(7-2x)2=13
     x2+49-28x+4x2-13=0
     x2-28x+36=0 η οποία είναι εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες x1=3,6 ή  x2=2.
     Αν x1=3,6 από την (iiiβρίσκουμε y1=-0,2. Άρα η λύση
     Αν x2=2 από την (iiiβρίσκουμε y2=3.
     Άρα η λύση του συστήματος είναι (x,y)=(3,6 , -0,2) ή (x,y)=(2,3)
     Να γράφετε την απάντηση όπως παραπάνω!!
     (Παρατήρηση: Τα δύο ζεύγη λύσεων είναι οι συντεταγμένες των σημείων τομής της 
      ευθείας με τον κύκλο)



______________________________________________
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Όλη η μαθητική ζωή σας θα είναι συναρτήσεις και πάλι συναρτήσεις, αφού όλα γύρω σας έχουν να κάνουν μ' αυτές.
π.χ. Η κατανάλωση της βενζίνης ενός αυτοκινήτου εξαρτάται (είναι συνάρτηση) από τη ταχύτητα.
      Ο μισθός ενός υπάλληλου εξαρτάται (είναι συνάρτηση) από τα χρόνια υπηρεσίας.
      Τα χρήματα που θα δώσουμε στον μανάβη εξαρτώνται  (είναι συνάρτηση) από τα κιλά που
      θα αγοράσουμε...

Στα μαθηματικά: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ είναι μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών x και y όταν σε
κάθε τιμή του x  αντιστοιχεί μία μόνο τιμή του y. (Προσοχή στα υπογραμμισμένα).




Στο σχήμα 1 έχουμε συνάρτηση διότι κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο του Β.
Στο σχήμα 2 δεν έχουμε συνάρτηση διότι το α αντιστοιχεί σε δύο στοιχεία του Β.
Στο σχήμα 3 δεν έχουμε συνάρτηση διότι το γ δεν  αντιστοιχεί σε κανένα στοιχείο του Β.
Στο σχήμα 4 δεν έχουμε συνάρτηση.  Γιατί;








Ανάλογα με τον τύπο μπορούμε να δημιουργήσουμε άπειρες συναρτήσεις. Οι πιο βασικές για την
 Γ' Γυμνασίου είναι: y=αx2  και y=αx+βx+γ. Συνήθως γράφουμε αντί για y το f(x).

_____________________
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ  f(x)=αx2  με α>0.
Για να μελετήσουμε μία συνάρτηση πρέπει να γνωρίζουμε τον τύπο της και τις τιμές του x. (το πεδίο ορισμού)
π.χ.  y=2x2, με α=2>0.       
         Επειδή δεν μας δίνουν τιμές για το x παίρνουμε όποιες θέλουμε. Για την συνάρτηση αυτή 
      παίρνουμε τιμές γύρω από το 0 και φτιάχνουμε πίνακα τιμών.

    Η συνάρτηση αυτή:
1) Έχει γραφική παράσταση μία καμπύλη που λέγεται 
    παραβολή.
2) Έχει κορυφή το σημείο Ο(0,0)
3) Έχει ελάχιστη τιμή το 0 όταν x=0.
4) Είναι συμμετρική ως προς άξονα συμμετρίας τον y'y.
5) Είναι φθίνουσα (πηγαίνει προς τα κάτω) όταν x<0 και 
    αύξουσα (πηγαίνει προς τα πάνω) όταν x>0.
6) Επειδή το 2x2 είναι θετικό και το y θα είναι θετικό, γι' αυτό 
    όλη η καμπύλη βρίσκεται "πάνω" από τον άξονα x'x.







Τα φανάρια των αυτοκινήτων και οι δορυφορικές κεραίες κατασκευάζονται με βάση τις παραβολές.
(Μπορείτε από το ιντερνέτ να κατεβάσετε το σχεδιαστικό πρόγραμμα Graph και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις)



_____________________
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ  f(x)=αx2  με α<0.
π.χ. y=-2x2, με α=-2<0.    



Η συνάρτηση αυτή:
1) Έχει γραφική παράσταση μία καμπύλη που λέγεται 
     παραβολή.
2) Έχει κορυφή το σημείο Ο(0,0)
3) Έχει μέγιστη τιμή το 0 όταν x=0.
4) Είναι συμμετρική ως προς άξονα συμμετρίας τον y'y.
5) Είναι αύξουσα (πηγαίνει προς τα πάνω) όταν x<0 και 
    φθίνουσα (πηγαίνει προς τα κάτω) όταν x<0. 
6) Επειδή το -2x2 είναι αρνητικό  και το y είναι αρνητικό, γι' 
    αυτό όλη η καμπύλη βρίσκεται "κάτω" από τον άξονα x'x.




Όταν το α μεγαλώνει η καμπύλη "κλείνει", ενώ όταν μικραίνει η καμπύλη "ανοίγει".

__________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Η συνάρτηση y=αx2)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. (Β, Γ)
2. (Μέγιστη οι α και δ, ενώ ελάχιστη οι β και γ)
3. α) Σ    β) Λ    γ) Λ    δ) Σ    ε) Σ    ζ) Σ
4. (Eίναι το συμμετρικό της ως προς y'y στο 3ο τεταρτημόριο)    β) (Eίναι το συμμετρικό της ως προς     x'x στο 1ο και 2o τεταρτημόριο)
5. (β)
6. (α®3, β®4, γ®1, δ®2)

_______________________________________________
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ  f(x)=αx2+βx+γ  με α>0.
Για να φτιάξουμε την γραφική της παράσταση δεν παίρνουμε τιμές γύρω από το 0, αλλά γύρω από τον αριθμό x =  - \frac{\beta }{{2\alpha }}.


Επίσης για να δείτε τι συμβαίνει όταν αλλάζουν οι συντελεστές ενός τριωνύμου, κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο του κ. Λοίζου στο blog "enallax".
http://www.enallax.com/exams/geogebra/alyk/l_trionymo.html
(Πρέπει να έχετε εγκατεστημένο το java. Αν δεν το έχετε κατεβάστε το από www.java.com )

_________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Η συνάρτηση y=αx2)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. α) (Παραβολή Κ(1,-4), x=1)    β) (Ελάχιστη, -4, 1)    γ) ((-1,0), (3,0), (0,-3))
2. i) (γ)   ii) (γ)
3. α) Λ    β) Σ    γ) Σ    δ) Σ    ε)Σ
4.  (α®2, β®4, γ®1, δ®3)
5. α) (x=1, K(1,4))    β) (y=4, x=1)    γ) ((-1,0), (3,0), (0,3))


_________________________________________________
ΣΥΝΟΛΑ 
ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Έχουν χαθεί μόρια σε Πανελλήνιες εξετάσεις από υποψήφιους που δεν ήξεραν τα σύνολα των αριθμών. Είναι κρίμα να συμβεί και σε σας.

















Ν: Φυσικοί αριθμοί (είναι οι αριθμοί με τους οποίους μετράμε)
Ζ: Ακέραιοι αριθμοί (είναι οι φυσικοί αριθμοί με + ή - ( Να θυμάστε: ακέραιος σημαίνει ολόκληρος).
Q: Ρητοί αριθμοί (είναι οι παραπάνω με τα κλάσματα και τους δεκαδικούς) Δηλαδή και...κομματάκια.
RΠραγματικοί αριθμοί (είναι όλοι)                                
ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ
Ένα σύνολο παριστάνεται με τρεις τρόπους.
α) Με αναγραφή. Γράφουμε μέσα σε άγκιστρα τα στοιχεία που περιέχει.
     π.χ. Α={0,2,4,6,8}
            Β={1,2,3,...,100}
       
β) Με περιγραφή {Γράφουμε τι είναι τα στοιχεία του | (διαβάζεται: όπου) ποια ιδιότητα έχουν}.
    π.χ. Α={xЄΝ | x άρτιος μονοψήφιος} δηλαδή Α={2,4,6,8}
           Β={xЄΝ | x ρίζα της εξίσωσης x2=9} δηλαδή Β={-3,3}
           Γ={γράμμα της λέξης "ΜΠΑΜΠΗΣ"} δηλαδή Γ={Μ,Π,Α,Η,Σ}.
           Κάθε στοιχείο γράφεται μία μόνο φορά.

γ) Με διάγραμμα. Μέσα σε κλειστή καμπύλη γράφουμε τα στοιχεία του.
    Το βασικό σύνολο Ω (η...μάνα όλων των συνόλων) παριστάνεται συνήθως με ορθογώνιο.

Ω={x |x μονοψήφιος φυσικός}
Α={x |x άρτιος μονοψήφιος φυσικός}






ΙΣΑ λέγονται τα σύνολα που έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.
π.χ. Τα σύνολα Α={-3,3} και Β={xЄΖ | x ρίζα της εξίσωσης x2=9} είναι ίσα.

Το σύνολο Α λέγεται ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ του Β αν τα στοιχεία του Α βρίσκονται και στο Β.
π.χ. Το Α={2,3,4}είναι υποσύνολο του Β={1,2,3,4,5}.
       Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του.

ΚΕΝΟ λέγεται το σύνολο που δεν έχει στοιχεία και παριστάνεται με Æ ή {}.
π.χ. Ένα άδει κουτί. Όχι {Æ}. Αυτό παριστάνει ένα κουτί που περιέχει ένα άδειο κουτί.
π.χ. το σύνολο Α={x|x αρνητικός φυσικός} είναι κενό.



ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ
α) ΕΝΩΣΗ δύο συνόλων Α και Β λέγεται το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία και του Α και του Β.
π.χ. Αν Α={1,2,3,4} και Β={2,3,4,5,6}τότε AUB={1,2,3,4,5,6}.

β) ΤΟΜΗ δύο συνόλων Α και Β λέγεται το σύνολο που περιέχει τα κοινά στοιχεία των Α και Β.

π.χ. Αν Α={1,2,3,4} και Β={2,3,4,5,6}τότε AB={2,3,4}.

γ) ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ενός συνόλου Α ως προς βασικό σύνολο Ω, λέγεται το σύνολο Α' που περιέχει
    τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α.
    Υπόψη: ΑUA'=Ω και AΑ'={ }
π.χ. Αν Ω={1,2,3,4,5,6} και Α={1,2} τότε Α'={3,4,5,6}




















________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Σύνολα)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. α) Σ    β) Λ    γ) Λ    δ) Σ    ε) Σ    στ) Σ
2. (α®3, β®4, γ®2, δ®1)
3. Ω={1,2,3,4,5,6,7}, Α={1,2,3}  Β={2,3,4,5}  Α'={4,5,6,7}  Β'={1,6,7}
   ΑÈB={1,2,3,4,5},  AÇB={2,3}
4(α®5, β®6, γ®2, δ®3, e®1)
5. α) (AÈB: κόκκινο- κίτρινο- μπλε)
    β) (ΑÇΒ:κίτρινο)
    γ) (Α':μπλε- πράσινο)
    δ) (Β': κόκκινο- πράσινο)
    ε) ((ΑÈΒ)': πράσινο)
   στ) ((ΑÇΒ)': κόκκινο- μπλε- πράσινο)

_____________________________________________
ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ
Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, παρόλο που πραγματοποιείται με τις ίδιες ακριβώς συνθήκες.

Δειγματικός χώρος Ω λέγεται το σύνολο που περιέχει ΟΛΑ τα δυνατά αποτελέσματα.
π.χ. στη ρίψη ενός € είναι Ω={Κ, Γ} (Κουκουβάγια, Γράμματα).
π.χ. στη ρίψη δύο € είναι Ω={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}
π.χ. στη ρίψη ζαριού είναι Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}
π.χ. σε οικογένειες με τρία παιδιά είναι Ω={ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ}

Ενδεχόμενο είναι ένα υποσύνολο (κομμάτι) του δειγματικού χώρου. (Γραμματική: Ενδέχεται να πραγματοποιηθεί= Υπάρχει περίπτωση- ίσως, να πραγματοποιηθεί).

π.χ. Το ενδεχόμενο στη ρίψη ζαριού να φανεί άρτιο αποτέλεσμα είναι  Α={2, 4, 6}. Αυτοί οι αριθμοί  λέγονται ευνοϊκές περιπτώσεις.
Αν στη ρίψη ζαριού η ένδειξη είναι 4, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο Α πραγματοποιήθηκε.
Το ενδεχόμενο Α: η ένδειξη είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6 πραγματοποιείται πάντοτε, γι' αυτό λέγεται 
βέβαιο ενδεχόμενο. Τότε Α={1, 2, 3, 4, 5, 6}=Ω.
Στη ρίψη ζαριού το ενδεχόμενο Β: η ένδειξη είναι -7 δεν πραγματοποιείται ποτέ, γι' αυτό 
λέγεται  αδύνατο ενδεχόμενο. Τότε B={ }.
π.χ. Παίζουμε "σύστημα" στη ρίψη ζαριού. Ποντάρουμε στα ενδεχόμενα Α={2, 4, 6} και Β={1, 2, 3}.   
       Θα κερδίσουμε είτε πραγματοποιηθεί είτε το Α είτε το Β. Δηλαδή το ΑÈΒ={1, 2, 3, 4, 6}.
       Αν θέλουμε να πραγματοποιηθεί και το Α και το Β, θα κερδίσουμε με το ΑΒ={2}.
      Αν θέλουμε να μην πραγματοποιηθεί το Α, θα κερδίσουμε με το Α'={1, 3, 5}.
     
π.χ. Παίζουμε "σύστημα" στη ρίψη ζαριού. Ποντάρουμε στην πραγματοποίηση και των δύο  
      ενδεχομένων Α={2, 4} και Β={1, 3} ταυτόχρονα. Άμα κερδίσετε ποτέ να ...μου γράψετε!!
      Τα ενδεχόμενα αυτά λέγονται ασυμβίβαστα. Τότε ΑΒ={ } (κενό) 


________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Δειγματικός χώρος- Ενδεχόμενα)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. (α - γ - δ)
2. Ναι (ΒΑ αντί ΑΒ)
3. (235, 253, 325, 352, 523, 532)
4. Είναι τα (Α και Δ)
5. Είναι τα (Α και Γ)
6. (γ)
7. (δ)
8. (α®2, β®4, γ®1)

______________________________________________
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
Σε ένα πείραμα τύχης υπάρχει μία αβεβαιότητα ως προς το αποτέλεσμα. Αυτή η αβεβαιότητα μπορεί να μετρηθεί με έναν τύπο που έφτιαξε το 1812 ο Laplace. Είναι ο τύπος της πιθανότητας:

 Επειδή ο αριθμητής είναι μικρότερος του παρονομαστή και οι αριθμοί Ν(Α) και Ν(Ω) είναι θετικοί αριθμοί ισχύει ότι: 0£Ρ(Α)£1.
Α. Ισοπίθανα λέγονται τα ενδεχόμενα που έχουν την ίδια πιθανότητα να συμβούν.
    (Στην κλήρωση του LOTTO τα μπαλάκια ζυγίζονται κάθε φορά, γιατί αν κάποιο είναι βαρύτερο
      θα...σπρώχνει τα άλλα για να κατεβεί πρώτο στην τρύπα).
Β. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β είναι P(AÈB)+P(A∩B)=P(A)+P(B).
Γ. Για αντίθετα ή συμπληρωματικά ενδεχόμενα ισχύει Ρ(Α)+Ρ(Α')=1.
Δ. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν τα Α και Β είναι Ρ(Α∩Β).
Ε. Η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι P(AÈB)'.

___________________________________________________________________________
π.χ. Μία ομάδα ασκήσεων μοιάζει με την παρακάτω:
        Από τους μαθητές ενός σχολείου το 80% μαθαίνει αγγλικά, το 30% γαλλικά και το 20% και τις
       δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα
       α) Να μαθαίνει μία τουλάχιστον γλώσσα.
       β) Να μη μαθαίνει καμία από τις δύο γλώσσες.
       γ) Να μαθαίνει και τις δύο γλώσσες.
     Μπορούμε να λύσουμε την άσκηση και γραφικά όπως φαίνεται στο σχήμα:










α) Η πιθανότητα να μαθαίνει μία τουλάχιστον γλώσσα είναι: P(AUB)=60%+20%+10%=90%
β) Η πιθανότητα να μη μαθαίνει καμία γλώσσα είναι: P(AUB)'=1-P(AUB)=1-90%=10%
γ) Η πιθανότητα να μαθαίνει και τις δύο γλώσσες είναι: Ρ(Α∩Β)=20%

________________________________________________________________________
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (Η έννοια της πιθανότητας)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις.
1. (α - δ)
2. (γ)
3. α) Λ     β) Λ      γ) Σ     δ) Σ
4. (γ)
5. Πρέπει ( P(AÈB)+P(A∩B)=P(A)+P(B). Είναι λάθος )