Β' ΓΥΜΝ. ΑΛΓΕΒΡΑ





Η διάταξη της ύλης αναφέρεται στο βιβλίο της διπλανής εικόνας.









ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ

_____________________
Α. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, βάζουμε το πρόσημό τους και προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές. 

Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, βάζουμε το πρόσημο αυτού που έχει την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή και αφαιρούμε τις απόλυτες τιμές. 


(Μνημονικός κανόνας που μου έμαθε ο αείμνηστος καθηγητής μου:

Κάθε θετικός είναι χρήματα που έχουμε. Κάθε αρνητικός είναι χρήματα που χρωστάμε).

π.χ. (-3)+(+8)=+5 (χρωστώ 3 έχω 8, τα δίνω και έχω 5)
π.χ. (-7)+(+5)=-2  (χρωστώ 7 έχω 5, τα δίνω και χρωστώ 2)

Αντίθετοι λέγονται οι αριθμοί με ίδια απόλυτη τιμή και διαφορετικό πρόσημο.
π.χ. -7 και +7

_____________________
Β. ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Δεν...ξέρουμε να κάνουμε!!
Για να αφαιρέσουμε δύο ρητούς, προσθέτουμε στον πρώτο τον αντίθετο του δεύτερου.
δηλ. α-β=α+(-β)
π.χ. 3-5=3+(-5)=-2
(Ο κανόνας αυτός δεν χρησιμοποιείται, αφού έχουν εφευρεθεί άλλοι τρόποι για να κάνουμε
  την αφαίρεση. Δείτε παρακάτω).
____________________
Γ. ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΩΝ
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά (αριστερά) το + φεύγει μαζί με αυτό και γράφουμε τους αριθμούς που περιέχει με τα πρόσημα που έχουν.
π.χ.  +(-3+4-7)=-3+4-7

Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά (αριστερά) το - φεύγει μαζί με αυτό και γράφουμε τους αριθμούς που περιέχει με αλλαγμένα τα πρόσημα.
π.χ. -(-3+2-5)=+3-2+5

Οι παραπάνω κανόνες μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε μια παράσταση με πολλούς τρόπους
π.χ. Να υπολογίσετε την παράσταση:
       1ος τρόπος
       (-5)-(+7)+(+2)-(-4)=     μετατρέπουμε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις.
     =(-5)+(-7)+(+2)+(+4)=    προσθέτουμε χωριστά τους θετικούς και χωριστά τους αρνητικούς.
     = (+6)+(-12)=                   προσθέτουμε τους δύο ετερόσημους που βρήκαμε.
     =-6

      2ος τρόπος
      (-5)-(+7)+(+2)-(-4)=     απαλείφουμε τις παρενθέσεις
    =-5-7+2+4=                    τα σύμβολα + και  - που έμειναν είναι πρόσημα!!
    =-12+6=
    =-6


π.χ. Να υπολογίσετε την παράσταση:
      -(-8+6)-{ [ (7-8)+(-5)]-(-5+12) }-(-6-7)=    (Πιο μεγάλη παράσταση...δεν βρήκα!!)
        =8-6-{ [ 7-8-5]+5-12}+6+7=                     Για να μην κάνετε λάθος πρώτα απαλείφετε τις
        =8-6-{7-8-5+5-12 }+6+7=                        παρενθέσεις.
        =8-6-7+8+5-5+12+6+7=                           Μετά τις αγκύλες
                                                                            Στο τέλος τα άγκιστρα
        =8+8+5+12 +6 +7 -6 -7-5=                       Διαγράφετε τους αντίθετους (αν υπάρχουν)
        =46-18=
        =28.
Να γράφετε πάντοτε στην επόμενη γραμμή. Μην κόβετε την παράσταση στη μέση.

________________
Δ. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
Τα πρόσημα μπαίνουν σύμφωνα με τον κανόνα:
+ · + = +
+ · - = -
- · - = +

Στον πολλαπλασιασμό ΔΕΝ βγάζουμε τις παρενθέσεις, αλλά κάνουμε τις πράξεις
μέσα σ' αυτές.
π.χ. (-3+8)·(4-9)=
       =(+5)·(-5)=
       =-25

π.χ.  Να υπολογίσετε την παράσταση:
         -4·(+6)+(-7)·2-3·(-2)=                 Το + αριστερά του (-7) είναι σημείο πρόσθεσης, ενώ το
                                                             - αριστερά του 3 είναι πρόσημο. Προσοχή λοιπόν !
         = -24+(-14)+6=
         =-24-14+6=
         =-32.

______________________________________________
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
α) Εξίσωση λέγεται η ισότητα που περιέχει άγνωστο όρο. π.χ. 5x-8=3x+2.
β) Οι όροι 5x, 3x είναι οι άγνωστοι όροι και οι -8, 2 είναι οι γνωστοί.
γ) Το 5x-8 είναι το 1ο μέλος και το 3x+2 είναι το δεύτερο μέλος.
δ) Οι αριθμοί 5, 3 λέγονται συντελεστές του x.

Για να λύσουμε μία εξίσωση εργαζόμαστε με τη σειρά:
1) Απαλείφουμε τους παρονομαστές. Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ.
    (Δεν κάνουμε πολλαπλασιασμούς αλλά απλοποιήσεις!)
π.χ. Να λύσετε την εξίσωση \frac{{x + 4}}{3} - \frac{{x - 4}}{5} = 2 + \frac{{3x - 1}}{{15}}
      Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ=15 (Ξέρετε πως το βρίσκουμε;)

      15\frac{{x + 4}}{3} - 15\frac{{x - 4}}{5} = 15 \cdot 2 + 15\frac{{3x - 1}}{{15}}  Κάνουμε τις απλοποιήσεις
      (Όχι τους  πολλαπλασιασμούς)

    5(x+4)-3(x-4)=30+(3x-1)  Απαλείφουμε τις παρενθέσεις

      5x+20-3x+12=30+3x-1  Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους

      5x-3x-3x=30-1-20-12     Κάνουμε τις αναγωγές όμοιων όρων

      -1x=-3                            Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου

      \frac{{ - 1x}}{{ - 1}} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}}  Άρα x=3


π.χ. Να λύσετε την εξίσωση 2(x+1)=x+2
                                                 2x+2=x+2
                                                  2x-x=2-2
                                                       x=0
_____________________________________________________________________
 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση 2(x+1)=2x+5
                                                  2x+2=2x+5 
                                                  2x-2x=5-2
                                                        0x=3
                                                          x=(Αδύνατη) Τσεκάρετε πάνω στην παρένθεση.
 Αν η εξίσωση πάρει την μορφή 0x=α, λέμε ότι είναι αδύνατηΔεν έχει λύσεις. 
                         
_____________________________________________________________________
 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση 2(x+1)=2x+2
                                                  2x+2=2x+2 
                                                  2x-2x=2-2
                                                        0x=0
                                                          x=(αόριστηΤσεκάρετε πάνω στην παρένθεση.
 Αν η εξίσωση πάρει την μορφή 0x=0, λέμε ότι είναι αόριστη ή ταυτότηταΈχει  άπειρες λύσεις.
        
_______________________________________________
 Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου (Εξισώσεις)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στην παρένθεση.
2. α)Σ     β)Λ(x=0)     γ)Σ     δ)Λ (x=0)      ε) Λ (ταυτότητα)

_____________________________________________
ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ
Η επίλυση τύπων των Μαθηματικών ή της Φυσικής ακολουθεί τις μεθόδους λύσης μιας εξίσωσης. Επειδή η εξίσωση έχει ένα γράμμα, το x, ενώ οι τύποι έχουν πολλά γράμματα οι μαθητές πελαγώνουν.

Ας δούμε δύο παραδείγματα:
π.χ. Να λύσετε τον τύπο F=1,8C+32 ως προς C. Φανταστείτε ότι το C είναι το x.
         έχουμε: F=1,8x+32
          F-32=1,8x διαιρούμε με τον συντελεστή 1,8 και x = \frac{{F - 32}}{{1,8}}    ή C = \frac{{F - 32}}{{1,8}}
  
______________________________________________________________________
π.χ. Να λύσετε τον τύπο E = \frac{1}{2}(\beta  + B)\upsilon  ως προς υ.
      Όταν ο τύπος έχει κλάσμα χρησιμοποιούμε την μέθοδο χιαστί. Ο παραπάνω τύπος γράφεται:
       \frac{{\rm E}}{1} = \frac{{(\beta  + {\rm B})x}}{2}  Δεν είναι πιο απλό;
       Άρα 2Ε=(β+Β)x  και τελικά  x = \upsilon  = \frac{{2{\rm E}}}{{\beta  + {\rm B}}}

       Αν θέλουμε να λύσουμε ως προς Β έχουμε:
       2Ε=(β+Β)υ
       2Ε=βυ+Βυ
       2Ε-βυ=Βυ και τελικά  {\rm B} = \frac{{2{\rm E} - \beta \upsilon }}{\upsilon } 




_____________________________________________

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α. Βασικές έννοιες
1. Ονομάζουμε x αυτό που ζητάμε. Αν ζητάμε περισσότερα ονομάζουμε x το μικρότερο ή αυτό 
    που συγκρίνετε με τα άλλα.
2. Το διπλάσιο, τριπλάσιο,…του x είναι 2x, 3x,…
3. Τα  \frac{2}{3} του x είναι \frac{{2x}}{3}   
4. Αυξάνω σημαίνει προσθέτω. Ελαττώνω σημαίνει αφαιρώ.
5. Αν Α είναι το άθροισμα δύο αριθμών, τότε ο ένας είναι το x και ο άλλος το A-x.
6.  Αν Δ είναι η διαφορά δύο αριθμών, τότε ο μικρός είναι το x και ο μεγάλος το  Δ+x.
7. Το 15% του x είναι \frac{{15x}}{{100}}
8. Στην ομαλή κίνηση ισχύει \upsilon  = \frac{s}{t}.

Β. Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
    1.  Εισαγωγή αγνώστων.
    2. Δημιουργία εξίσωσης.
    3. Λύση της εξίσωσης.
    4. Περιορισμοί του προβλήματος
    5. Απάντηση















__________________________________________________________________________
π.χ. Ένα Γυμνάσιο έχει 265 μαθητές. Η Α τάξη έχει 15 λιγότερους από την Β και η Γ έχει 10 
       περισσότερους από την Β. Πόσους μαθητές έχει κάθε τάξη;
      1.  Εισαγωγή αγνώστωνΜπορούμε να ονομάσουμε x τους μαθητές οποιασδήποτε τάξης. 
                                              Βολεύει όμως να ονομάσουμε x τους μαθητές της Β αφού οι άλλες
                                              δύο συγκρίνονται με αυτήν !
                                              Άρα η Β έχει x μαθητές. Η Α θα έχει x-15μαθητές και η Γ θα έχει x+10 μαθητές.
     2. Δημιουργία εξίσωσης.               (x-15)+x+(x+10)=265
     3. Λύση της εξίσωσης.                  3x-15+10=265
     4. Περιορισμοί του προβλήματος: Πρέπει ο x να είναι φυσικός αριθμός. x=90 (δεκτή)
     5. Απάντηση:                                  Β=90, Α=75, Γ=100        

____________________________________________________________________
Αν μας ζητούν διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς τους βαφτίζουμε: x, x+1, x+2, x+3,...
 ενώ αν μας δίνουν το άθροισμα τους βαφτίζουμε ...,x-2, x-1, x, x+1, x+2,...

Αν μας ζητούν διαδοχικούς άρτιος φυσικούς αριθμούς τους βαφτίζουμε: x, x+2, x+4, x+6,...

π.χ. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς με άθροισμα 51.
       Έστω x, x+1, x+2 οι τρεις αριθμοί. 
       Πρέπει x+(x+1)+(x+2)=51
                 ή 3x=51-1-2
                 ή x=17
     2ος τρόπος
     Αν "βαφτίσουμε τους αριθμούς x-1, x, x+1 τότε θα έχουμε:
     (x-1)+x+(x+1)=51
     ή 3x=51
     ή x=17

______________________________________________
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
Προσέχετε τις εκφράσεις: Ισότητα- Ανισότητα και Εξίσωση- Ανίσωση.

Η σχέση μ<Μ διαβάζεται: μ μικρότερο του Μ. (Μέσα στη γωνία βάζουμε τον μεγάλο).
Η σχέση 7>3 διαβάζεται: 7 μεγαλύτερο του 3.
Η σχέση α³3 διαβάζεται: Ο α είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 3.
Η σχέση α£3 διαβάζεται: Ο α είναι μικρότερος ή ίσος του 3. 
Αν α> 0 τότε ο α είναι θετικός, αν α<0 τότε ο α είναι αρνητικός         
Οι ανισότητες 2<5 και 3<8 έχουν την ίδια φορά.
Οι ανισότητες 2<5 και 8>3 έχουν αντίθετη φορά.
Για να λύσουμε μία ανίσωση πρέπει να γνωρίζουμε τις ιδιότητες των ανισοτήτων.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ
1) Αν στα μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό προκύπτει ανισότητα με ίδια φορά.
    π.χ. 2<5 ® 2+7<5+7 ® 9<12
2) Αν από τα μέλη μιας ανισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό προκύπτει ανισότητα με ίδια φορά.
    π.χ. 2<5 ® 2-7<5-7 ® -5<-2.
3) Αν τα μέλη μιας ανισότητας πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο θετικό αριθμό προκύπτει ανισότητα με ίδια φορά.
    π.χ. 2<5 ® 2·7<5·7 ® 14<35
4) Αν τα μέλη μιας ανισότητας πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο αρνητικό αριθμό προκύπτει ανισότητα με αντίθετη φορά.
    π.χ. 2<5 ® 2·(-3)>(-3) ® -6>-15.
5) Αν τα μέλη μιας ανισότητας διαιρέσουμε με τον ίδιο θετικό αριθμό προκύπτει ανισότητα με          ίδια φορά.
    π.χ. 12<8 ® 12:2<8:2 ® 6<4
6) Αν τα μέλη μιας ανισότητας διαιρέσουμε με τον ίδιο αρνητικό αριθμό προκύπτει ανισότητα με      αντίθετη φορά.
   π.χ. 12<8 ® 12:(-2)>8:(-2) ® -6>-4.

__________________________________
Για να λύσουμε μία ανίσωση εργαζόμαστε όπως στις εξισώσεις. 
Προσοχή!
α) Όταν διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου και είναι αρνητικός αριθμός αλλάζει η 
    φορά της ανίσωσης.
β) Μία ανίσωση επαληθεύεται με πολλούς αριθμούς. Αφού δεν μπορούμε να τους γράψουμε 
   όλους ...τους δείχνουμε. Γι' αυτό είναι απαραίτητος ο άξονας.

π.χ.  Να λύσετε την ανίσωση:
         2(x-3)+4<5(x+2)
         2x-6+4<5x+10
         2x-5x<10+6-4
        -3x<12
         x>-4. Επειδή το 4 δεν επαληθεύει την ανίσωση στον άξονα βάζουμε "κουλουράκι".




______________________________________________________________________
π.χ.  Να λύσετε την ανίσωση:
         2(x-3)+4£5(x+2)
         2x-6+4£5x+10
         2x-5x£10+6-4
        -3x£12
         x³-4. Επειδή το 4  επαληθεύει την ανίσωση στον άξονα βάζουμε "κουκίδα".




______________________________________________________________________
π.χ. Να λύσετε την ανίσωση:
         3(x-2)<3x-7
         3x-6<3x-7
         3x-3x<6-7
         0x<-1 ή
         0<-1. (Η ανισότητα αυτή είναι ψευδής)
         Επειδή καταλήξαμε σε ψευδή ανισότητα, η παραπάνω  ανίσωση είναι αδύνατη.

π.χ. Να λύσετε την ανίσωση:
         x<x+2
         x-x<2
         0x<2 ή
         0<2. (Η ανισότητα αυτή είναι αληθής)
         Επειδή καταλήξαμε σε αληθή ανισότητα, η παραπάνω ανίσωση επαληθεύεται με όλους
         τους αριθμούς.


______________________________________________
ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΟΥΣΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
 Ένας βαρκάρης για να κάνει μία βόλτα στο απέναντι νησάκι ζητά οι επιβάτες να είναι πάνω από 4 για να τον συμφέρει οικονομικά και κάτω από 12 γιατί τόσους χωράει η βάρκα του. 
Αν x ονομάσουμε τους επιβάτες πρέπει να ισχύει: x³4 ή x£12, δηλαδή 4£x£12. Άρα οι επιβάτες πρέπει να είναι από 4 έως 12. Δηλαδή ζητάμε να συμβαίνουν δύο προϋποθέσεις.










______________________________________________________________________
π.χ. Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς που επαληθεύουν τις ανισώσεις:
       5x-5>x-13     και     5x-3£2x+15. Οι λύσεις των ανισώσεων είναι :
             x>-2        και           x£6.
       Η απάντηση είναι -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ,6 (διότι αυτοί είναι οι ακέραιοι).

______________________________________________________________________
π.χ. Πού συναληθεύουν οι ανισώσεις 17<2x+1
£23; (Δύο σε ένα!)
       Μπορούμε να...σπάσουμε την παράσταση σε δύο ανισώσεις. Μπορούμε όμως να

       την λύσουμε "πακέτο".
       Ο σκοπός μας είναι να μείνει το x μόνο του.
       Αφαιρούμε και από τα τρία μέλη το 1
       17-1<2x+1-1£23-1
       16< 2x £ 22
        Διαιρούμε και τα τρία μέλη με το 2.
        16:2<2x:2£22:2
        άρα 8<x£11.


________________________________________________________________________
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου (Ανισώσεις)
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στην παρένθεση.
2α) Σ (Αφαιρούμε τον ίδιο αριθμό)
    β) Λ (Αλλάζουμε πρόσημα, αλλάζουμε φορά
    γ) Σ (2α-α<0 ή α<0)
    δ) Λ (Όταν αντιστρέφουμε θετικούς, αλλάζουμε φορά)   
    ε) Σ (   α<5 σημαίνει ο α είναι μικρότερος κάθε αριθμού μεγαλύτερου του 5)   
  στ) Λ (x>4)  
    ζ) Λ (0x>-1 ή 0>-1)  
    η) Λ (0x>1, αδύνατη)  
    θ) Λ (x>-1)

____________________________________________
ΡΙΖΕΣ
Αν α=5 τότε α2=25. Αν γνωρίζουμε το 25, πώς θα βρούμε το α; Υπολογίζουμε τον αριθμό \sqrt {25} =5, που λέγεται τετραγωνική ρίζα του 25. Ο αριθμός κάτω από την ρίζα λέγεται υπόριζο.















_____________________________________________________________________
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου (Ρίζες)
4. α) \sqrt {16}  = 4,                     β) \sqrt 4  = 2 
    γ) \sqrt 9  = 3                        δ) \sqrt {0,4}  \simeq 0,632
    ε) Δεν υπάρχει              στ) \sqrt 0  = 0
    ζ) \sqrt 4  = 2                        η) \sqrt {16 + 9}  = \sqrt {25}  = 5
    θ) \sqrt {25 - 9}  = \sqrt {16}  = 4    ι) \sqrt {100}  = 10


























































____________________________________________________________________
ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Με την δημιουργία της τετραγωνικής ρίζας εμφανίστηκαν...κάτι περίεργοι αριθμοί που προβλημάτισαν τους προγόνους μας, ώστε δεν τολμούσαν να μιλήσουν γι' αυτούς (άρρητος= δεν μιλάμε γι' αυτόν). Για παράδειγμα \sqrt 2 =1,41421356237309...
Επίσης και ο αριθμός π=3,14159... είναι άρρητος αριθμός.
Με την εμφάνιση των άρρητων αριθμών δημιουργήθηκε το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο πρέπει να μάθετε οπωσδήποτε!!
______________________________________________
ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ




Ν: Φυσικοί αριθμοί (είναι οι αριθμοί με τους οποίους μετράμε 1, 2, 3, ...)
Ζ: Ακέραιοι αριθμοί (είναι οι φυσικοί αριθμοί με + ή - μπροστά 2, -4, +5, -7,...)
Q: Ρητοί αριθμοί      (είναι οι ακέραιοι αριθμοί και ακόμα όσοι εκφράζουν κομμάτια της
                                             ακέραιας μονάδας δηλαδή οι δεκαδικοί, τα κλάσματα)
Q' Άρρητοι αριθμοί (είναι οι αριθμοί που...δεν είναι ρητοί, έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία 
                                    μη περιοδικά. π.χ. π=3,14159..... Ο αριθμός 0,2222... είναι ρητός 
                                    και ισούται με 2/9).
R: Πραγματικοί αριθμοί  (είναι ΟΛΟΙ)



____________________________________________________________________
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου (Άρρητοι- Πραγματικοί αριθμοί))
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στην παρένθεση.
1α) 4<2,12<5            δ) 10<4,5<11
    β) 1,4<1,41<1,5      ε) 1,7<1,732<1,8
    γ) 7<3,87<8          στ) 2< 2,64 <3


_____________________________________________
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Όλη η μαθητική ζωή σας θα είναι συναρτήσεις και πάλι συναρτήσεις, αφού όλα γύρω μας έχουν να κάνουν μ' αυτές.
π.χ. Η κατανάλωση της βενζίνης ενός αυτοκινήτου εξαρτάται (είναι συνάρτηση) από τη ταχύτητα.
      Ο μισθός ενός υπάλληλου εξαρτάται (είναι συνάρτηση) από τα χρόνια υπηρεσίας.
      Τα χρήματα που θα δώσουμε στον μανάβη εξαρτώνται  (είναι συνάρτηση) από τα κιλά που
      θα αγοράσουμε...

Στα μαθηματικά: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ είναι μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών x και y όταν σε
κάθε τιμή του x  αντιστοιχεί μία μόνο τιμή του y. (Προσοχή στα υπογραμμισμένα).



















Στο σχήμα 1 έχουμε συνάρτηση διότι κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο του Β.
Στο σχήμα 2 δεν έχουμε συνάρτηση διότι το α αντιστοιχεί σε δύο στοιχεία του Β.
Στο σχήμα 3 δεν έχουμε συνάρτηση διότι το γ δεν  αντιστοιχεί σε κανένα στοιχείο του Β.
Στο σχήμα 4 δεν έχουμε συνάρτηση.  Γιατί; (To γ δεν αντιστοιχεί πουθενά;)

Ενδιαφέρον πρόβλημα!
Πώς φτιάχνουμε τον τύπο μιας συνάρτησης;
π.χ. Οι επιβάτες ενός ΤΑΧΙ πληρώνουν 2 € για σημαία (ξέρετε τί είναι;) και 0,8 € για κάθε 
       χιλιόμετρο. Να φτιάξετε τη σχέση (συνάρτηση) που συνδέει τα y € με τα x χιλιόμετρα.

Μόλις πει "καλημέρα"
2 €
Μετά από 1 Km
2+0,8 €
Μετά από 2 Km
2+2×0,8 €
Μετά από 3 Km
2+3×0,8 €
Μετά από 4 Km
2+4×0,8 €
Μετά από x Km
2+0,8×x €
Άρα y=2+0,8x.
Στην δεύτερη στήλη μην κάνετε πράξεις γιατί θα χάσετε τον μηχανισμό που θα δημιουργήσει τον τύπο.
























































______________________________________________
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
Α. ΛΟΓΟΣ δύο μεγεθών είναι ο αριθμός που δηλώνει πόσες φορές μεγαλύτερος είναι ο ένας
    από τον άλλον. (Όχι η διαφορά τους). Ο λόγος εκφράζεται με το πηλίκο της διαίρεσης των.

   π.χ. Το 12 είναι τριπλάσιο του 4. Ο λόγος τους είναι το \frac{{12}}{4} = 3  ή \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}  (Η διαφορά τους είναι 8).

Αναλογία λέγεται η ισότητα δύο λόγων (δύο κλασμάτων) \frac{\alpha }{\beta } = \frac{\gamma }{\delta }
O α (που γράφεται πρώτος) και ο δ (που γράφεται τελευταίος) λέγονται άκροι όροι, ενώ οι β και γ λέγονται μέσοι όροι.
Για να υπολογίσουμε έναν από αυτούς όταν γνωρίζουμε τους άλλους τρεις χρησιμοποιούμε την ιδιότητα χιαστί.
π.χ. Να βρείτε το x αν  \frac{2}{4} = \frac{3}{x}.
       Έχουμε 2x=3·4   ή 2x=12  άρα x=6



_____________________________________________
ΠΟΙΑ ΠΟΣΑ ΛΕΓΟΝΤΑΙ ΑΝΑΛΟΓΑ; (μετρήστε !)
1) Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν οι τιμές του ενός πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό τότε και
    οι αντίστοιχες τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό.

2) Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν όταν οι αντίστοιχες τιμές έχουν τον ίδιο λόγο (πηλίκο)

3) Δύο ποσά x, y λέγονται ανάλογα όταν όταν συνδέονται με την σχέση y=αx.

4) Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν η γραφική παράσταση των τιμών τους είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Πρακτικός κανόνας
Για να διαπιστώσουμε αν δύο ποσά είναι ανάλογα διπλασιάζουμε το ένα. Αν διπλασιαστεί και το 
άλλο είναι ανάλογα.
π.χ. Τα ποσά  και κιλά μπανάνες είναι ανάλογα; (Με διπλάσια € παίρνουμε διπλάσια κιλά μπανάνες.  Άρα είναι).
π.χ. Τα ποσά ηλικία και βάρος είναι ανάλογα; (Αν διπλασιαστεί η ηλικία μας διπλασιάζεται και το     βάρος. Δε νομίζω!!).















































_____________________________________________
ΠΟΙΑ ΠΟΣΑ ΛΕΓΟΝΤΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ;
1) Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν οι τιμές του ενός πολλαπλασιάζονται με έναν 
    αριθμό τότε  οι αντίστοιχες τιμές του άλλου διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό.

2) Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν οι αντίστοιχες τιμές έχουν τον ίδιο γινόμενο.

3) Δύο ποσά x, y λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν όταν συνδέονται με την σχέση yx=α.

4) Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν η γραφική παράσταση 
των τιμών τους είναι 
    καμπύλη (υπερβολή).

 Πρακτικός κανόνας
Για να διαπιστώσουμε αν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα διπλασιάζουμε το ένα. Αν μειωθεί στο μισό άλλο, τότε είναι αντιστρόφως ανάλογα.
π.χ. Τα ποσά εργάτες και έργο είναι αντιστρόφως ανάλογα; (Διπλάσιοι εργάτες παράγουν διπλάσιο 
       έργο. Όχι αντιστρόφως ανάλογα)

π.χ. Τα ποσά εργάτες και ημέρες είναι αντιστρόφως ανάλογα; (Διπλάσιοι εργάτες θα τελειώσουν το 
       ίδιο έργο στις μισές μέρες. Είναι).












































_______________________________________________
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
1) Είναι η επιστήμη που συλλέγει και επεξεργάζεται τις πληροφορίες.
2) Το σύνολο που εξετάζουμε λέγεται πληθυσμός.
3) Τα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται άτομα.
4) Αυτό που εξετάζουμε στον πληθυσμό λέγεται μεταβλητή
5) Τα αποτελέσματα της μέτρησης λέγονται παρατηρήσεις της μεταβλητής και το πλήθος των
     παρατηρήσεων είναι οι τιμές.
6) Αν μετρήσουμε όλα τα άτομα του πληθυσμού κάνουμε απογραφή, ενώ αν μετρήσουμε
    ένα μέρος του πληθυσμού, κάνουμε δειγματοληψία.
7) Τα αποτελέσματα της μέτρησης τα παριστάνουμε με διάφορες γραφικές παραστάσεις.


π.χ. Μελετήσαμε ένα δείγμα  ΙΧ αυτοκινήτων ως προς το χρώμα τους.

        Τα αποτελέσματα φαίνονται στον πίνακα:

Χρώμα
Αυτοκίνητα
Λευκό
50
Μαύρο
110
Κόκκινο
120
Κίτρινο
30
Μπεζ
90
Σύνολο
ν=400




1) Ο πληθυσμός που εξετάζουμε είναι τα 400 αυτοκίνητα.
2) Η μεταβλητή ως προς την οποία εξετάζουμε τα αυτοκίνητα είναι "Χρώμα".
3) Οι παρατηρήσεις είναι: Λευκό, Μαύρο, Κόκκινο, Κίτρινο, Μπεζ.
4) Οι τιμές που παίρνουν οι αντίστοιχες παρατηρήσεις είναι 50, 110, 120, 30, 90.
    Οι τιμές λέγονται και συχνότητες.

__________________________________________________________________________
Μπορείτε να φτιάξετε ραβδόγραμμα ή κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιώντας το EXCEL του υπολογιστή σας.
π.χ. Οι τιμές μιας μεταβλητής είναι 1, 2, 5, 3, 7, 3. Να γίνει το ραβδόγραμμα και το κυκλικό                 διάγραμμα.
       α) Πληκτρολογούμε τους αριθμούς και τους "τσεκάρουμε".
       β) Πηγαίνουμε στην μπάρα εργαλείων και επιλέγουμε "Εισαγωγή".
       γ) Από την αναδυόμενη λίστα επιλέγουμε την μορφή του γραφήματος.














______________________________________________
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
1) Λέγεται ο πίνακας που δείχνει πως κατανέμονται (μοιράζονται) τα άτομα του πληθυσμού.
2) Συχνότητα μιας παρατήρησης λέγεται ο αριθμός που δείχνει πόσα άτομα έχουν την
    παρατήρηση αυτή.

π.χ. Μελετάμε 40 οικογένειες ως προς τον αριθμό των παιδιών τους Τα αποτελέσματα φαίνονται
       στον παρακάτω πίνακα
Αριθμός παιδιών
Οικογένειες
0
9
1
9
2
16
3
5
4
1
Σύνολο
40
      Ο πίνακας λέγεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων (οι 40 οικογένειες κατανέμονται-   
      μοιράζονται ανάλογα με το πλήθος των παιδιών τους)
      Τα αποτελέσματα της μέτρησης 0, 1, 2, 3, 4 είναι οι παρατηρήσεις.
      Σε κάθε παρατήρηση αντιστοιχεί ένας αριθμός που λέγεται συχνότητα της παρατήρησης αυτής.
      π.χ. η παρατήρηση "2 παιδιά" έχει συχνότητα 16. 
      Το άθροισμα των παρατηρήσεων ισούται με το πλήθος των ατόμων του πληθυσμού.

______________________________________________
ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ
Πολλές φορές θέλουμε να κάνουμε συγκρίσεις μεταξύ δύο πληθυσμών αλλά έχουν διαφορετικό πλήθος. Πώς θα γίνουν οι συγκρίσεις αυτές;


π.χ. Το τμήμα Α1 ενός Γυμνασίου έχει 30 μαθητές και ο πρόεδρος πήρε στις μαθητικές εκλογές 15   
       ψήφους. Το Α2 έχει 25 μαθητές και ο πρόεδρος εξελέγει με 15 ψήφους. Πήραν τον ίδιο αριθμό   
       ψήφων. Είναι το ίδιο δημοφιλείς;

       Επειδή τα τμήματα έχουν διαφορετικό πλήθος μαθητών και δεν γίνεται σύγκριση, καταφεύγουμε  στον...μαγικό αριθμό 100. Υποθέτουμε ότι και τα δύο τμήματα έχουν 100 μαθητές.
       Στο Α1: Από τις 30 ψήφους ο πρόεδρος πήρε 15
                    Αν ήταν 100                                         x
        Άρα \frac{{30}}{{100}} = \frac{{15}}{x}   ή 30x=15·100  και x=50.
        αυτό σημαίνει ότι πήρε 50 από 100, δηλαδή 50%.   

        Στο Α2 θα βρούμε 60%. Σ ή Λ; (Σωστό!)

___________________________________________________________________________
π.χ. Μελετήσαμε ένα δείγμα οικογενειών των πόλεων "Σπάτα" και "Αρτέμιδα" ως προς τον   
        αριθμό των παιδιών. Τα αποτελέσματα φαίνονται τους παρακάτω πίνακες.
                 ΣΠΑΤΑ                                               ΑΡΤΕΜΙΔΑ
Αρ. παιδιών
xi
Οικογένειες
νi
fi
 0
2

1
4

2
9

3
3

4
2


ν=20

Αρ. παιδιών
xi
Οικογένειες
νi
fi
 0
6

1
8

2
20

3
4

4
2


ν=40











Συμπτωματικά η παρατήρηση "4 παιδιά" έχει την ίδια συχνότητα. Έχει και την ίδια βαρύτητα;
Η απάντηση είναι όχι, διότι στα Σπάτα 2 οικογένειες από τις 20 έχουν 4 παιδιά, ενώ στην Αρτέμιδα 2 οικογένειες από τις 40 έχουν 4 παιδιά. Σύγκριση δεν γίνεται. Γι' αυτό καταφεύγουμε στον...μαγικό αριθμό 100!

Στα  Σπάτα: Από τις 20 οικογένειες 2 έχουν 4 παιδιά
                  Αν ήταν 100                    x;  (Απλή μέθοδος των τριών)
                                x=\frac{{2 \cdot 100}}{{20}} = \frac{2}{{20}}100 = 10\% .
  Ο αριθμός f5=\frac{2}{{20}} λέγεται σχετική συχνότητα και ο f5% =10% λέγεται σχετική συχνότητα επί   

  τοις εκατό.  Για την Αρτέμιδα η αντίστοιχη σχετική συχνότητα είναι f5%=5%.

_______________________________________________
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Ξέρετε να υπολογίζετε τον τελικό βαθμό σας σε ένα μάθημα; Προσθέτουμε όλους τους βαθμούς και διαιρούμε με το πλήθος των. Αυτό λέγεται μέσος όρος ή μέση τιμή και συμβολίζεται με \bar x .

π.χ. Κάποιος τα μαθηματικά πήρε 12, 14, 17, 8. Ποιος είναι ο μέσος όρος;
       Έχουμε \bar x = \frac{{12 + 14 + 17 + 8}}{4} = \frac{{51}}{4} = 12,75   
 
______________________________________________
ΔΙΑΜΕΣΟΣ
Για να βρούμε την διάμεσο ενός δείγματος με άρτιο πλήθος, τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και παίρνουμε την μεσαία παρατήρηση.
π.χ. Να βρείτε την διάμεσο των παρατηρήσεων: 4, 2, 4, 5, 1, 8, 6, 5, 3
       Οι παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά είναι: 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8. Η διάμεσος είναι το δ=4.

Για να βρούμε την διάμεσο ενός δείγματος με περιττό πλήθος, τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και παίρνουμε την μέση τιμή των δύο "μεσαίων" παρατηρήσεων.
π.χ. Να βρείτε την διάμεσο των παρατηρήσεων: 4, 2, 7, 4, 5, 1, 8, 6, 5, 3, 
       Οι παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά είναι: 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8. Η διάμεσος είναι το 
       δ=\frac{{4 + 5}}{2} = 4,5.