A' ΓΥΜΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ






Η διάταξη της ύλης αναφέρεται στο βιβλίο της διπλανής εικόνας.








 ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Σημείο (Δεν υπάρχει ορισμός). Το σημείο δεν έχει διαστάσεις. Παριστάνεται με μια  τελεία 
     και δίπλα ένα κεφαλαίο γράμμα.       .Α
                                                           
Ευθεία (Δεν υπάρχει ορισμός). Την έννοια της ευθείας μας δίνει ένα τεντωμένο νήμα ή  μια φωτεινή ακτίνα. Δεν έχει άκρα και μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα. 
   (Από ένα σημείο  διέρχονται άπειρες ευθείες. Από δύο σημεία διέρχεται μόνο μια 
    ευθεία).
  
                                             

Ημιευθεία είναι το μέρος μιας ευθείας που έχει αρχή, αλλά δεν έχει τέλος. 

Συνευθειακά λέγονται τα σημεία που βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.

Ευθύγραμμο τμήμα είναι το μέρος μιας ευθείας με αρχή και τέλος.

 Αντικείμενες ημιευθείες λέγονται οι ημιευθείες που αποτελούν ευθεία γραμμή
                               
                                                





       
Επίπεδο είναι μια επιφάνεια στην οποία εφαρμόζει η ευθεία γραμμή προς κάθε κατεύθυνση. Κάθε ευθεία ενός επιπέδου  το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα.

Τεθλασμένη λέγεται η γραμμή που αποτελείται από συνεχόμενα ευθύγραμμα τμήματα.                 
                                   
Πολύγωνο ή Ευθύγραμμο σχήμα λέγεται μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή.  
 
                                    

Διαγώνιος πολυγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο μη γειτονικές κορυφές.   

Γωνία λέγεται το μέρος του επιπέδου που ορίζουν δύο ημιευθείες με κοινή αρχή.  Η  κοινή αρχή  λέγεται κορυφή και οι ημιευθείες λέγονται πλευρές. Μία γωνία  διαβάζεται με τρία γράμματα, μεσαίο είναι το γράμμα της κορυφής.



 π.χ. xOy,  ή  yOx,   ή Ο,  ή  φ.  (όχι xyO)


 
Τρίγωνο λέγεται το πολύγωνο που έχει τρεις πλευρές. Σε κάθε πλευρά τριγώνου  αντιστοιχούν 
      δύο γωνίες προσκείμενες και μία απέναντι
      Δύο πλευρές τριγώνου  ορίζουν μία γωνία που λέγεται  περιεχόμενη.                               

                                               







Ίσα λέγονται τα σχήματα που αν τοποθετήσουμε το ένα πάνω στο άλλο θα συμπέσουν. Δύο 
     ίσα σχήματα έχουν τις αντίστοιχες γωνίες και τις αντίστοιχες πλευρές ίσες.

Μονάδες μήκους           

m     dm     cm    mm         Για να μετατρέψουμε ένα μήκος σε μονάδα που βρίσκεται 
          ®x10                        ακριβώς δεξιά της πολλαπλασιάζουμε επί 10, ενώ προς τα αριστερά  
          :10¬                         διαιρούμε δια 10.
                                             π.χ. 2,34m= 23,4dm= 234cm= 2340mm                                               



Απόσταση δύο σημείων λέγεται το μήκος του τμήματος που τα ενώνει.
                                  



Μέσον ευθύγραμμου τμήματος λέγεται το σημείο που ισαπέχει από τα άκρα του. Κάθε τμήμα έχει ένα μέσον.





Για να συγκρίνουμε ευθύγραμμα τμήματα χρησιμοποιούμε τον διαβήτη (ή μετράμε  το 
       μήκος τους με το υποδεκάμετρο, αλλά η μέτρηση δεν είναι ακριβής).

Για να προσθέσουμε ευθύγραμμα τμήματα τα κάνουμε διαδοχικά.
Για να αφαιρέσουμε ευθύγραμμα τμήματα τα τοποθετούμε έτσι ώστε να έχουν την  ίδια αρχή.











Περίμετρος ενός πολυγώνου λέγεται το άθροισμα των πλευρών του.

Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος είναι μικρότερο από κάθε άλλη γραμμή με τα  ίδια άκρα.

Μοίρα λέγεται η μονάδα μέτρησης των γωνιών. Το αποτέλεσμα της μέτρησης λέγεται  μέτρο
     (π.χ. Μια γωνία 300 λέμε ότι έχει μέτρο 300.  
     Μονάδες μέτρησης γωνιών
      10       60'     60"
             ®x10
              :10¬

Ξέρετε να κάνετε πράξεις με συμμιγείς αριθμούς;
 π.χ. Αν α=370  28'  46"  και β=540  44'  52", να βρείτε το α+β.
       Έχουμε: α=370  28'  46"
                     β=540  44'   52"
                  _______________
                α+β=910  72'   98"
             ή α+β=910  73'   38"  (Από τα 98" τα 60"=1' τα προσθέτουμε στο 72')
             ή α+β=920  13'   38"  (Από τα 73' τα  60'=10 τα προσθέτουμε στο 910)

 π.χ. Αν α=900 και β=370  28'  46" να βρείτε το α-β.
       Έχουμε: α=900
                                  β=37 28' 46" ή

                     α=890    60'          (Αφαιρέσαμε 1από τις 900 και την κάναμε 60')
                                  β=370  28'  46" ή
                                             
                     α=890   59'  60"   (Αφαιρέσαμε 1' από τα 60' και τα κάναμε 60")
                                  β=37 28'  46"
                  ________________
          άρα α-β=520   31'  14"


Για να συγκρίνουμε γωνίες χρησιμοποιούμε το διαφανές χαρτί ή μετράμε το  μέτρο  τους με το 
      μοιρογνωμόνιο.

Ισοσκελές λέγεται το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες. Οι γωνίες που είναι  προσκείμενες 
στη βάση του είναι ίσες.

Διχοτόμος μιας γωνίας λέγεται η ημιευθεία που την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

Κάθετες ευθείες λέγονται δύο ευθείες που τέμνονται και σχηματίζουν 4 ίσες γωνίες.
     (Αν δεν είναι κάθετες λέγονται πλάγιες).



          

Είδη γωνιών
00<οξεία<900,   
Ορθή=900,      
900<αμβλεία<1800,      
Ευθεία γωνία=1800 
1800<Μη κυρτή<3600,        
Πλήρης=3600

Για να διαπιστώσουμε ότι δύο ευθείες είναι κάθετες ή ότι μια γωνία είναι ορθή χρησιμοποιούμε 
     τον γνώμονα.     

Εφεξής λέγονται οι γωνίες που έχουν ίδια κορυφή, μια κοινή πλευρά και δεν  έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο.






Διαδοχικές λέγονται οι γωνίες που κάθε μια με την διπλανή της είναι εφεξής.

Για να προσθέσουμε δύο γωνίες τις κάνουμε εφεξής. Το άθροισμά τους είναι η γωνία που τις περιέχει.

Παραπληρωματικές λέγονται δύο γωνίες με άθροισμα 1800.








Συμπληρωματικές λέγονται δύο γωνίες με άθροισμα 900.





































Κατακορυφήν  λέγονται δύο γωνίες που οι πλευρές της μιας είναι  αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης.




Βασικό!! Αν σας ζητούν να υπολογίσετε μια γωνία ψάξτε να βρείτε αν είναι:
      α) Παραπληρωματική μιας άλλης.
      β) Συμπληρωματική μιας άλλης.
      γ) Κατακορυφήν μιας άλλης.
      δ) Ίση με άλλη λόγω διχοτόμου.
      ε) Προσκείμενη στη βάση ισοσκελούς ή ισοπλεύρου τριγώνου.
      στ) Επίκεντρη σε ίσα τόξα ή στο ίδιο τόξο με μία άλλη.

π.χ. Αν το ΑΒΓ είναι ισοσκελές και η xy διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας Α τότε:



   ω=φ λόγω διχοτόμου.
   ω=ρ ως κατακορυφήν
   ω=B ως εντός εκτός και επί τα αυτά
   φ=Γ ως εντός εναλλάξ
   Β=Γ ως γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου.






Παράλληλες λέγονται δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν τέμνονται.

Δύο ευθείες κάθετες σε μια τρίτη είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Για να χαράξουμε δύο παράλληλες ευθείες φέρνουμε κάθετες σε μία τρίτη ευθεία. 
     (Φέρνουμε κάθετη στην κάθετη).

Απόσταση σημείου από ευθεία λέγεται το μήκος του κάθετου τμήματος από το  σημείο στην ευθεία.                  
                                                                    
Απόσταση παράλληλων ευθειών λέγεται το μήκος του κάθετου τμήματος που  έχει τα άκρα του σε αυτές.            

_______________________________________________
ΚΥΚΛΟΣ
Κύκλος λέγεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από  
     ένα σταθερό σημείο, το κέντρο.

Ακτίνα λέγεται η απόσταση ενός σημείου του κύκλου από το κέντρο.
      Όλες οι ακτίνες του ίδιου κύκλου είναι ίσες.
                                                                                                             
Διάμετρος λέγεται η χορδή που διέρχεται από το κέντρο.

Τόξο λέγεται ένα κομμάτι του κύκλου.                  
                                                                                       
Χορδή λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα άκρα ενός τόξου. (ή ενώνει  δύο σημεία 
     του κύκλου).

Κυκλικός δίσκος λέγεται ο κύκλος με το επίπεδο που περικλείεται από αυτόν.












Επίκεντρη λέγεται η γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο ενός κύκλου. Το τόξο που  βρίσκεται  στο εσωτερικό της λέγεται αντίστοιχο τόξο.

Το μέτρο της επίκεντρης γωνίας είναι ίσο με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου. (Όχι η γωνία είναι         ίση με το τόξο!)

Δύο τόξα που βρίσκονται στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους θα είναι ίσα ή άνισα.
      Δύο τόξα που βρίσκονται σε άνισους κύκλους δεν συγκρίνονται. (ούτε ίσα, ούτε άνισα!)

Σε ίσους κύκλους ή στον ίδιο κύκλο ισχύει: Ίσες επίκεντρες Û Ίσα τόξα Û Ίσες χορδές.



Το τόξο ΑΒ είναι 600. Σωστό ή λάθος; (Σωστό)
Το τόξο ΓΔ είναι 600. Σωστό ή λάθος; (Σωστό)
Άρα τα τόξα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα (Λάθος. Ανήκουν σε άνισους κύκλους)
Για τις απαντήσεις τσεκάρετε τις παρενθέσεις.









Οι γωνίες Μ1 και Μ2 είναι ίσες. Σωστό ή λάθος; (Σωστό)
Άρα τα τόξα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα (Λάθος. Δεν είναι επίκεντρες)
Για τις απαντήσεις τσεκάρετε τις παρενθέσεις.










Θέσεις ευθείας- κύκλου








Μεσοκάθετος τμήματος λέγεται η ευθεία που είναι κάθετη στο μέσον του τμήματος αυτού.
     Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος, ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος αυτού.
    Η μέθοδος με την οποία κατασκευάζουμε την μεσοκάθετο ενός τμήματος μας βοηθάει:
      α) στην κατασκευή του μέσου ενός τμήματος
      β) στην κατασκευή μιας κάθετης ευθείας σε μία άλλη.
      γ) στην κατασκευή τριγώνου αν γνωρίζουμε τις πλευρές του.















________________________________________________
ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ
Α. Συμμετρία ως προς άξονα.
    1) Για να βρούμε το συμμετρικό ενός σημείου ως προς άξονα μία ευθεία ε, φέρνουμε κάθετη από  
       το σημείο στην ευθεία και προεκτείνουμε άλλο τόσο.
    2) Για να βρούμε το συμμετρικό ενός σχήματος, βρίσκουμε τα συμμετρικά των κορυφών του.
    3) Τα συμμετρικά σχήματα ως προς άξονα είναι ίσα!








Β. Συμμετρία ως προς κέντρο.
    1)  Για να βρούμε το συμμετρικό ενός σημείου ως προς κέντρο ένα σημείο Κ, ενώνουμε το σημείο με το κέντρο και προεκτείνουμε άλλο τόσο.
    2) Για να βρούμε το συμμετρικό ενός σχήματος, βρίσκουμε τα συμμετρικά των κορυφών του.
    3Τα συμμετρικά σχήματα ως προς κέντρο είναι ίσα!




      


____________________________________________________

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις

1.Σ      2.Σ    3.Λ(κάθετο στις παράλληλες)    4.Σ    5.Σ    6.Λ(το κομμάτι του κύκλου)    7.Σ    8.Λ(1800)    9.Λ(900)    10.Λ(και οι πλευρές των είναι αντικείμενες ημιευθείες)    11.Λ(άπειρες)    12.Λ(μόνο μία)    13.Σ    14.Σ    15.Λ(σε δύο)    16.Λ(ή τέμνονται ή συμπίπτουν)    17.Λ(μόνο μία)    18.Λ(παράλληλες)    19.Λ(κυρτές ή μη κυρτές)    20.Σ    21.Λ(μικρότερο)    22.Λ(ακτίνα)    23.Λ(είναι άνισοι)    24.Λ(διπλάσια)    25.Σ    26.Σ    27.Λ(ίσες)    28



_______________________________________________

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ
Χαρακτηριστικές ιδιότητες παραλλήλων ευθειών
     α. Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες
     β. Οι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες
     γ. Οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι παραπληρωματικές.
         

          Εντός εναλλάξ:  δ=ζ, γ=ε
           Εντός, εκτός επί τα αυτά: ε=α, β=ζ, δ=θ, γ=η
          Εντός και επί τα αυτά: δ+ε=1800, γ+ζ=1800
                          
                       





_______________________________________________
ΤΡΙΓΩΝΑ
Ισοσκελές λέγεται το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες.

Ισόπλευρο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

Σκαληνό λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του διαφορετικές.

Οξυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες του οξείες.

Ορθογώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει μία ορθή γωνία.

Αμβλυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει μια αμβλεία γωνία.

Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο τμήμα που φέρνουμε από μία κορυφή στην απέναντι   
     πλευρά. Ένα τρίγωνο έχει τρία ύψη που τέμνονται στο ίδιο  σημείο που λέγεται ορθόκεντρο.
           
Διάμεσος τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το  
     μέσον της απέναντι πλευράς. Ένα τρίγωνο έχει τρεις διάμεσους που τέμνονται στο ίδιο 
     σημείο. που λέγεται βαρύκεντρο.                    

Διχοτόμος τριγώνου λέγεται το τμήμα που φέρνουμε από μία κορυφή στην απέναντι 
    πλευρά και διχοτομεί μία γωνία του. Ένα τρίγωνο έχει τρεις διχοτόμους  που τέμνονται στο ίδιο 
    σημείο που λέγεται έκκεντρο.

Κατασκευή διχοτόμου...στα γρήγορα!
Γράφουμε τρεις ίσους κύκλους. Ο ένας έχει κέντρο την κορυφή Ο της γωνίας. Οι άλλοι δύο έχουν κέντρα τα σημεία K και Λ στα οποία ο πρώτος κύκλος τέμνει τις πλευρές της.




Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο με 1800

Η Εξωτερική γωνία ενός τριγώνου σχηματίζεται από την προέκταση μιας πλευράς και
     τη γειτονική της και είναι παραπληρωματική της αντίστοιχης εσωτερικής.


























   
                    






















Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου
    1) Οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες
    2) Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι και διχοτόμος και ύψος και άξονας συμμετρίας.

Ιδιότητες ισοπλεύρου τριγώνου
     1) Όλες οι πλευρές και γωνίες του είναι ίσες.
     2) Κάθε διάμεσος είναι και διχοτόμος και ύψος και άξονας συμμετρίας.



________________________________________________
ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.
        Ιδιότητες
    1) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες.
    2) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες.
    3) Οι διαγώνιές του διχοτομούνται (η μία διέρχεται από το μέσο της άλλης).

Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές.
      Ιδιότητες
      1) Έχει τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου
      2) Οι διαγώνιες είναι ίσες

Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.
    Ιδιότητες
    1) Έχει τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου.
    2) Οι διαγώνιες είναι κάθετες
    3) Οι διαγώνιες είναι και διχοτόμοι των γωνιών του.

Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές και τις γωνίες του ίσες.
       Ιδιότητες
     1) Έχει τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου
     2) Έχει τις ιδιότητες του ορθογωνίου
     3) Έχει τις ιδιότητες του ρόμβου.

Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει δύο παράλληλες πλευρές, (που λέγονται  βάσεις).
      Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο που οι μη παράλληλες πλευρές του είναι  ίσες.
      Ορθογώνιο τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο που έχει δύο ορθές γωνίες.  
 


_____________________________________________________________________________
π.χ. Με κέντρο το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου, ενος ορθογωνίου, ενός
       ρόμβου, ενός τετραγώνου και ενός ισοσκελούς τραπεζίου και ακτίνα το μισό της διαγωνίου
       γραφουμε κύκλο. Σε ποιο από τα παραπάνω σχήματα ο κύκλος θα περάσει και από τις άλλες
       κορυφές; Να δικαιολογίσετε την απάντηση.

Στο (ορθογώνιο και το τετράγωνο, που έχουν ίσες διαγώνιες και διχοτομούνται)

_____________________________________________________________________________
π.χ. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να βρείτε τα μέσα Δ, Ε και Ζ των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να φέρετε το
       ύψος ΑΗ. Μπορείτε να εξηγήσετε το είδος του τετραπλεύρου ΔΕΖΗ;

Είναι (ισοσκελές τραπέζιο)

_____________________________________________________________________________
π.χ. Ένα παραλληλόγραμμο με ίσες πλευρές είναι και (ρόμβος)
       Ένα ορθογώνιο με ίσες πλευρές είναι και (τετράγωνο)
       Ένας ρόμβος με ίσες γωνίες είναι και (τετράγωνο)
       Ένα τετράπλευρο με ίσες γωνίες είναι και (ορθογώνιο)
       Ένα τετράπλευρο με ίσες πλευρές είναι και (ρόμβος)

_____________________________________________________________________________
π.χ. Σε έναν κύκλο να φέρετε δύο διαμέτρους. Τι σχήμα δημιουργείται; (ορθογώνιο)
       Πότε θα είναι τετράγωνο; (αν οι διαγώνιες είναι κάθετες)

_____________________________________________________________________________
π.χ. Πάνω σε δύο γραμμές του τετραδίου να πάρετε δύο ίσα τμήματα και να ενώσετε τα άκρα τους.
       Τι τετράπλευρο σχηματίζετε; (παραλληλόγραμμο)

_____________________________________________________________________________
π.χ. Να γράψετε δύο κύκλους (Κ, 2cm) και  (Λ, 2cm), ώστε ο ένας να διέρχεται από το κέντρο του    άλλου. Αν οι κύκλοι τέμνονται στα Α και Β, να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου ΚΑΛΒ.
       Είναι (ρόμβος)

____________________________________________________
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
Τσεκάρετε με το ποντίκι πάνω στις παρενθέσεις

1.(1800)    2. (και τα τρία)    3. (1200)    4.(οι προσκείμενες σε κάθε βάση και οι διαγώνιες)     5. (και τα τρία)    6. (οι μεσοκάθετοι των πλευρών του)    7. (διχοτόμοι και άξονες συμμετρίας)
 8. (κέντρο συμμετρίας και οι διαγώνιοι διχοτομούνται)